Решите уравнение (x^2 + 4x)/(x - 1) - (x + 4)/(x - 1) = 0. Моторная лодка прошла 120 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 9 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

6. **Ответ: $x = -4$** Решение: $\frac{x^2 + 4x}{x - 1} - \frac{x + 4}{x - 1} = 0$ 1. Приведем к общему знаменателю (он уже общий): $\frac{x^2 + 4x - (x + 4)}{x - 1} = 0$ $\frac{x^2 + 3x - 4}{x - 1} = 0$ 2. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет: $\begin{cases} x^2 + 3x - 4 = 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases}$ 3. Решим квадратное уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$ через дискриминант или по теореме Виета: $x_1 = 1, x_2 = -4$ 4. Проверим условие $x \neq 1$: Корень $x = 1$ не подходит, так как знаменатель обращается в ноль. Остается только один корень: $x = -4$. --- 7. **Ответ: 27 км/ч** Решение: Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки. Тогда скорость по течению равна $(x + 3)$ км/ч, а против течения — $(x - 3)$ км/ч. 1. Составим уравнение по времени (время = расстояние / скорость): $\frac{120}{x + 3} + \frac{120}{x - 3} = 9$ 2. Разделим обе части на 3 для упрощения: $\frac{40}{x + 3} + \frac{40}{x - 3} = 3$ 3. Приведем к общему знаменателю $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$: $40(x - 3) + 40(x + 3) = 3(x^2 - 9)$ $40x - 120 + 40x + 120 = 3x^2 - 27$ $80x = 3x^2 - 27$ $3x^2 - 80x - 27 = 0$ 4. Найдем дискриминант: $D = (-80)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-27) = 6400 + 324 = 6724 = 82^2$ 5. Найдем корни: $x_1 = \frac{80 + 82}{2 \cdot 3} = \frac{162}{6} = 27$ $x_2 = \frac{80 - 82}{6} = -\frac{1}{3}$ (не подходит, так как скорость должна быть положительной). Собственная скорость лодки — 27 км/ч.