1. Рис. 3.119. Дано: AB || CD, AC = AB, ∠BCD = 35°. Найти: ∠CAB.

1. **Ответ: $110^\circ$** Решение: 1) Так как $AB \parallel CD$, то $\angle ABC = \angle BCD = 35^\circ$ как накрест лежащие углы. 2) По условию $AC = AB$, значит $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. Следовательно, $\angle ACB = \angle ABC = 35^\circ$. 3) Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, значит $\angle CAB = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. 2. **Ответ: $\angle 1 = 78^\circ, \angle 2 = 102^\circ, \angle 3 = 102^\circ$** Решение: 1) Найдём соответственные углы при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $m$. Угол, смежный с углом $70^\circ$, равен $110^\circ$ ($180^\circ - 70^\circ$). Так как этот угол равен внутреннему углу $110^\circ$ при секущей $m$, то прямые $a \parallel b$ (по признаку параллельности). 2) При параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $d$ углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются односторонними, их сумма равна $180^\circ$. Пусть $\angle 2 = x$, тогда $\angle 1 = x - 24^\circ$. $x + (x - 24^\circ) = 180^\circ$ $2x = 204^\circ \Rightarrow x = 102^\circ$ ($\angle 2$). $\angle 1 = 102^\circ - 24^\circ = 78^\circ$. 3) $\angle 3 = \angle 2 = 102^\circ$ как вертикальные. 3. **Доказательство:** 1) В четырёхугольнике $ABCD$ проведем диагональ $AC$. Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. 2) Сторона $AC$ — общая. 3) Стороны $BC = AD$ по условию. 4) Так как $BC \parallel AD$, то накрест лежащие углы $\angle BCA = \angle DAC$ при секущей $AC$. 5) Следовательно, $\triangle ABC = \triangle ADC$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). 4*. **Доказательство:** 1) Проведем прямую $CF \parallel AB$ через точку $C$. Так как $AB \parallel DE$ (по условию), то $CF$ будет параллельна и $DE$. 2) Углы $\angle ABC$ и $\angle BCF$ — односторонние при $AB \parallel CF$, их сумма $180^\circ$. Значит, $\angle BCF = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. 3) Углы $\angle FCD$ и $\angle CDE$ — односторонние при $CF \parallel DE$, их сумма $180^\circ$. Значит, $\angle FCD = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$. 4) Угол $\angle BCD = \angle BCF + \angle FCD = 70^\circ + 20^\circ = 90^\circ$. 5) Так как $\angle BCD = 90^\circ$, то $BC \perp CD$, что и требовалось доказать.