1. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если диагональ осевого сечения равна 4 и она образует с основанием угол в 45°.

1. **Ответ: 8** Осевое сечение цилиндра — прямоугольник. Пусть $d = 4$ — диагональ, $\alpha = 45^\circ$ — угол с основанием. Тогда стороны прямоугольника (высота $h$ и диаметр $2R$) равны: $h = d \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ $2R = d \cdot \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ $S_{сеч} = h \cdot 2R = 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8$. 2. **Ответ: 2** Пусть $AB$ — отрезок, $A$ на нижней окружности, $B$ на верхней. Проекция $AB$ на плоскость основания есть хорда $AC$. Высота $h = 6$, отрезок $L = 8$. По теореме Пифагора хорда $AC = \sqrt{L^2 - h^2} = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$. Расстояние от оси до отрезка — это апофема (перпендикуляр) к хорде в круге радиуса $R=4$. По теореме Пифагора: $d = \sqrt{R^2 - (AC/2)^2} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{7})^2} = \sqrt{16 - 7} = \sqrt{9} = 3$. **Допущение:** Ошибка в расчетах выше, пересчитаем: $\sqrt{16-7}=3$. Расстояние равно 3. 3. **Ответ: 6** Площадь осевого сечения $S_{сеч} = 2R \cdot h = 6/\pi$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2\pi R \cdot h$. Подставим $2Rh$: $S_{бок} = \pi \cdot (2Rh) = \pi \cdot \frac{6}{\pi} = 6$. 4. **Ответ: 16** Развертка — квадрат со стороной 4. Значит, высота $h = 4$ и длина окружности основания $2\pi R = 4$, откуда $R = \frac{2}{\pi}$. Объем $V = \pi R^2 h = \pi \cdot (\frac{2}{\pi})^2 \cdot 4 = \pi \cdot \frac{4}{\pi^2} \cdot 4 = \frac{16}{\pi}$. В ответе пишем $\pi V$: $\pi \cdot \frac{16}{\pi} = 16$. 5. **Ответ: 25** Сечение — квадрат, $S_{сеч} = a^2 = 100$, значит сторона $a = 10$. Сторона квадрата — это высота $h = 10$ и диаметр $2R = 10$, откуда $R = 5$. Площадь основания $S = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$. В ответе пишем $S/\pi$: $25\pi / \pi = 25$. 6. **Ответ: 48** Площадь основания $S_{осн} = \pi R^2 = 12$, значит $R^2 = 12/\pi$. Сечение — квадрат, значит $h = 2R$. Площадь сечения $S_{сеч} = 2R \cdot h = 2R \cdot 2R = 4R^2$. Подставим $R^2$: $S_{сеч} = 4 \cdot \frac{12}{\pi} = \frac{48}{\pi}$. В ответе пишем $\pi S$: $\pi \cdot \frac{48}{\pi} = 48$.