11.54. Спасаясь от охотников, 10 кроликов разбежались независимо друг от друга в три разные норы. В каком из интервалов лежит вероятность указанного события?

### Решение задачи 11.54 Всего вариантов распределения 10 кроликов по 3 норам: $N = 3^{10} = 59049$. 1. **Нет пустых нор.** Количество благоприятных исходов (с помощью формулы включений-исключений): $3^{10} - 3 \cdot 2^{10} + 3 \cdot 1^{10} = 59049 - 3072 + 3 = 55980$. Вероятность: $P = 55980 / 59049 \approx 0.948$. Это попадает в интервал $[0,8; 1]$. 2. **В первой норе 3 кролика.** Число способов выбрать 3 кролика из 10: $C_{10}^3 = 120$. Оставшиеся 7 кроликов выбирают из 2 оставшихся нор: $2^7 = 128$. Итого: $120 \cdot 128 = 15360$. Вероятность: $P = 15360 / 59049 \approx 0.26$. Это интервал $[0,2; 0,4]$. 3. **Ровно одна нора пуста.** Выбираем пустую нору (3 варианта). Кролики распределяются по 2 норам (исключая пустую), вычитая случаи, когда все в одной (2 варианта): $3 \cdot (2^{10} - 2) = 3 \cdot 1022 = 3066$. Вероятность: $P = 3066 / 59049 \approx 0.052$. Это интервал $[0; 0,3]$. 4. **В одной норе 4 кролика, в остальных — поровну.** Разбиение кроликов на группы: $(4, 3, 3)$. Выбираем нору с 4 (3 вар.), затем кроликов $C_{10}^4 = 210$, оставшихся $C_{6}^3 = 20$. Всего: $3 \cdot 210 \cdot 20 = 12600$. Вероятность: $P = 12600 / 59049 \approx 0.213$. Это интервал $[0,2; 0,4]$. 5. **В одной норе 2 кролика, в остальных — поровну.** Разбиение $(2, 4, 4)$. Выбираем нору с 2 (3 вар.), выбираем кроликов $C_{10}^2 = 45$, затем $C_{8}^4 = 70$. Всего: $3 \cdot 45 \cdot 70 = 9450$. Вероятность: $P = 9450 / 59049 \approx 0.16$. Это интервал $[0; 0,3]$. ### Решение задачи 11.55 Всего вариантов распределения 6 цветков по 2 вазам: $N = 2^6 = 64$. 1. **Одна из ваз пустая.** Возможны 2 случая (все в первой или все во второй). $P = 2 / 64 = 1/32$. 2. **В одной из ваз один цветок.** Это значит в одной 1, в другой 5. Выбор вазы (2) умножить на выбор цветка $C_6^1 = 6$. $P = (2 \cdot 6) / 64 = 12/64 = 3/16$. 3. **В одной из ваз два цветка.** Это значит в одной 2, в другой 4. Выбор вазы (2) умножить на выбор 2 цветков $C_6^2 = 15$. $P = (2 \cdot 15) / 64 = 30/64 = 15/32$. 4. **В обеих вазах четное число цветков.** Варианты: (0, 6), (2, 4), (4, 2), (6, 0). Количество способов: $C_6^0 + C_6^2 + C_6^4 + C_6^6 = 1 + 15 + 15 + 1 = 32$. $P = 32 / 64 = 1/2$.