12.10. Отрезок DA — перпендикуляр к плоскости треугольника ABC, AB = 10 см, AC = 17 см, BC = 21 см. Найдите расстояние от точки D до прямой BC, если расстояние от точки D до плоскости ABC равно 15 см.

**Ответ: 12.10. 10 см; 12.11. 8 см; 12.12. 10 см; 12.13. 13 см.** **12.10. Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $BC$.** 1. Пусть $DH$ — перпендикуляр к $BC$. По теореме о трёх перпендикулярах $AH \perp BC$, значит $AH$ — высота $\triangle ABC$. 2. Найдём площадь $\triangle ABC$ по формуле Герона ($p = \frac{10+17+21}{2} = 24$): $S = \sqrt{24 \cdot (24-10) \cdot (24-17) \cdot (24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = 84 \text{ см}^2$. 3. $AH = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \cdot 84}{21} = 8 \text{ см}$. 4. Из прямоугольного $\triangle DAH$ ($DA=15$, $AH=8$): $DH = \sqrt{DA^2 + AH^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225+64} = 17 \text{ см}$. **Допущение:** В условии просят найти расстояние от $D$ до $BC$ ($17$), но если в вопросе опечатка и нужно расстояние до плоскости ($DA$), то оно дано (15). Пересчитаем под вопрос «расстояние до плоскости»: Если $DH=17$, то $DA = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см. **Ответ:** 17 см. **12.11. Найдите расстояние от точки $E$ до плоскости окружности.** 1. $\triangle ABC$ вписан в окружность, $AB$ — диаметр $\Rightarrow \angle ACB = 90^{\circ}$. 2. В $\triangle ABC$: $AC = AB \cdot \sin(30^{\circ}) = 12 \cdot 0,5 = 6$ см. $BC = AB \cdot \cos(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. 3. Пусть $EK \perp BC$. По ТТП $AK \perp BC$. Так как $\triangle ABC$ прямоугольный с прямым углом $C$, то точка $K$ совпадает с $C$. Значит, $AC$ — проекция $EC$ на плоскость. 4. Из прямоугольного $\triangle EAC$ ($EC=10$, $AC=6$): $AE = \sqrt{EC^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ см. **Ответ:** 8 см. **12.12. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $CD$.** 1. В ромбе $ABCD$ все стороны $10$ см. $\angle BAC = 30^{\circ} \Rightarrow \angle BAD = 60^{\circ}$. 2. Проведём $AH \perp CD$. В $\triangle ADH$ ($\angle D = 180-60=120^{\circ}$ или через высоту ромба): высота ромба $h = AD \cdot \sin(60^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см. 3. По ТТП расстояние от $M$ до $CD$ — это гипотенуза $MH$ в $\triangle MAH$. 4. $MH = \sqrt{MA^2 + AH^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{75 + 75} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6}$ см. **Ответ:** $5\sqrt{6}$ см. **12.13. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$.** 1. Пусть $DH \perp BC$. По ТТП $AH \perp BC$. $DH = 2\sqrt{43}$ см. 2. В $\triangle ABH$ ($\angle ABH = 180 - 120 = 60^{\circ}$): $AH = AB \cdot \sin(60^{\circ}) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$ см. 3. Из $\triangle DAH$: $DA = \sqrt{DH^2 - AH^2} = \sqrt{(2\sqrt{43})^2 - (7\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 \cdot 43 - 49 \cdot 3} = \sqrt{172 - 147} = \sqrt{25} = 5$ см. **Ответ:** 5 см.