13.7. Прямая MA перпендикулярна плоскости ABC (рис. 13.8), AB = AM = 6 см, AC = 2√3 см. Найдите угол, который образует с плоскостью ABC прямая: 1) MB; 2) MC.

**Ответ: 1) 45°; 2) 60°** **Решение задачи 13.7:** По условию $MA \perp (ABC)$, значит $MA \perp AB$ и $MA \perp AC$. Отрезки $AB$ и $AC$ являются проекциями наклонных $MB$ и $MC$ на плоскость $ABC$. Углом между прямой и плоскостью является угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. 1) Найдём угол между $MB$ и $(ABC)$ — это $\angle MBA$: В прямоугольном $\triangle MAB$ ($AM = 6, AB = 6$): $\text{tg} \angle MBA = \frac{AM}{AB} = \frac{6}{6} = 1$. Значит, $\angle MBA = 45°$. 2) Найдём угол между $MC$ и $(ABC)$ — это $\angle MCA$: В прямоугольном $\triangle MAC$ ($AM = 6, AC = 2\sqrt{3}$): $\text{tg} \angle MCA = \frac{AM}{AC} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. Значит, $\angle MCA = 60°$. --- **Ответ: 30°** **Решение задачи 13.8:** Искомый угол — это $\angle MOA$, так как $AO$ — проекция $MO$ на плоскость $ABC$ ($MA \perp (ABC)$). 1) Точка $O$ — центр правильного $\triangle ABC$. Расстояние от вершины до центра (радиус описанной окружности $R$) вычисляется по формуле: $AO = \frac{a}{\sqrt{3}}$, где $a$ — сторона треугольника. $AO = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см. 2) В прямоугольном $\triangle MAO$ ($MA = 2, AO = 2\sqrt{3}$): $\text{tg} \angle MOA = \frac{MA}{AO} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Значит, $\angle MOA = 30°$.