Решите систему уравнений: x^(y^2 - 7y + 6) = 1, 3x + y = 7

**Ответ: (2; 1), (1/3; 6), (1; 4)** Решим систему уравнений: $\begin{cases} x^{y^2 - 7y + 6} = 1 \\ 3x + y = 7 \end{cases}$ Уравнение $x^A = 1$ имеет решения в трёх случаях: 1. Показатель степени равен нулю, а основание не равно нулю: $y^2 - 7y + 6 = 0$ и $x \neq 0$. 2. Основание равно $1$: $x = 1$. 3. Основание равно $-1$, а показатель — чётное число (в школьной программе для показательных функций обычно рассматривают $x > 0$, проверим основные случаи). **Случай 1: $y^2 - 7y + 6 = 0$** Корни по теореме Виета: $y_1 = 1, y_2 = 6$ Подставим во второе уравнение $3x + y = 7$: - Если $y = 1$, то $3x + 1 = 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$. Проверка $x \neq 0$: $2 \neq 0$ (подходит). - Если $y = 6$, то $3x + 6 = 7 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$. Проверка $x \neq 0$: $\frac{1}{3} \neq 0$ (подходит). **Случай 2: $x = 1$** Подставим во второе уравнение: $3(1) + y = 7 \Rightarrow 3 + y = 7 \Rightarrow y = 4$. Проверим показатель: $4^2 - 7(4) + 6 = 16 - 28 + 6 = -6$. $1^{-6} = 1$ (подходит). **Случай 3: $x = -1$** Подставим во второе уравнение: $3(-1) + y = 7 \Rightarrow -3 + y = 7 \Rightarrow y = 10$. Проверим показатель на чётность: $10^2 - 7(10) + 6 = 100 - 70 + 6 = 36$ (чётное). Значит, $(-1)^{36} = 1$ (подходит, если область определения $x$ не ограничена положительными числами). Обычно в таких задачах подразумевается $x > 0$, поэтому запишем основные пары.