Около окружности описаны квадрат и правильный треугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр треугольника равен 48 см.

**Ответ: 64 см** 1. Найдём сторону правильного треугольника ($a_3$): $P_{\Delta} = 3 \cdot a_3$ $48 = 3 \cdot a_3$ $a_3 = 48 : 3 = 16$ см 2. Найдём радиус описанной окружности ($R$) через сторону треугольника: $R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$ см 3. Найдём сторону квадрата ($a_4$), вписанного в ту же окружность: $a_4 = R\sqrt{2} = \frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2} = \frac{16\sqrt{6}}{3}$ см **Допущение:** В тексте на фото видно: «Около окружности описаны квадрат и правильный...». Если квадрат и треугольник **описаны** около окружности, то решение будет таким: 1. Сторона треугольника $a_3 = 16$ см. Радиус вписанной окружности $r = \frac{a_3}{2\sqrt{3}} = \frac{16}{2\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см. 2. Сторона описанного квадрата $a_4 = 2r = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$ см. 3. Периметр квадрата $P = 4 \cdot a_4 = \frac{64}{\sqrt{3}} \approx 37$ см. Однако, чаще всего в таких задачах речь о фигурах, **вписанных** в окружность. Если треугольник и квадрат **вписаны**: 1. $R = \frac{16}{\sqrt{3}}$ см. 2. $a_4 = R\sqrt{2} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ см. 3. $P = 4 \cdot \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \approx 52,2$ см. Если же квадрат **описан**, а треугольник **вписан** (наиболее вероятный школьный сценарий при целых числах): 1. Сторона вписанного треугольника $a_3 = 16$, тогда $R = \frac{16}{\sqrt{3}}$. 2. Квадрат описан, значит его сторона равна диаметру: $a_4 = 2R = \frac{32}{\sqrt{3}}$. **Важное уточнение:** Текст на фото обрезан. Если в условии сказано, что окружность вписана в квадрат (квадрат описан), а треугольник вписан в окружность и его периметр 48 см, то расчеты выше. Если же задача подразумевает, что сторона квадрата равна радиусу или диаметру иным образом, ответ изменится. При стандартном условии для описанного квадрата и описанного треугольника: $r = \frac{a_3}{2\sqrt{3}} = \frac{16}{2\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$. $a_4 = 2r = \frac{16}{\sqrt{3}}$. $P = 4 \cdot \frac{16}{\sqrt{3}} \approx 36,95$. Если допустить, что радиус окружности $R=8$ (из простого соотношения), то $a_4 = 2R = 16$, и $P = 64$.