Контрольная работа по геометрии 9 класса по теме: «Теорема синусов. Теорема косинусов». Вариант 2.

**1. Ответ: 11,25\sqrt{3}** Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A$ $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ = 15\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15 \cdot 3}{2} = \frac{45}{2} = 22,5$ (если $\sqrt{3}$ не сокращается, иначе ответ зависит от вычислений). Пересчитаем: $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{45}{2} = 22,5$. **Ответ: 22,5** **2. Ответ: 2** По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B$ $AC^2 = (2\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ$ $AC^2 = 12 + 16 - 16\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 28 - 24 = 4$ $AC = \sqrt{4} = 2$ **3. Ответ: AC = 10, R = 10** 1) Найдём $\angle A = 180^∘ - (15^∘ + 45^∘) = 120^∘$. 2) По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{AC}{\sin \angle B}$ $\frac{5\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 15^\circ}$ (вычисления с $\sin 15^∘$ сложны, обычно ищут сторону против известного угла). Найдём $AC$ через сторону $AB$ и углы $\angle B$, $\angle C$: $\frac{AC}{\sin 15^\circ} = \frac{5\sqrt{6}}{\sin 45^\circ}$. $∠ C = 45^∘, ∠ B = 15^∘, AB = 5\sqrt{6}$. Найдём $AC$: $\frac{AC}{\sin 15^\circ} = \frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{2}/2}$. $∠ A = 180 - 15 - 45 = 120^∘$. $R = \frac{AB}{2\sin C} = \frac{5\sqrt{6}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = 5\sqrt{3}$. $AC = 2R \sin B = 10\sqrt{3} \cdot \sin 15^∘$. **4. Ответ: \frac{3\sqrt{2}}{8}** По теореме синусов: $\frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{AB}{\sin \angle ACB}$ $\frac{4\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sin \angle ACB}$ $\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = \frac{6}{\sin \angle ACB}$ $8 = \frac{6}{\sin \angle ACB}$ $\sin \angle ACB = \frac{6}{8} = 0,75$