На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что угол AOB — прямой. Отрезок BC — диаметр окружности. Докажите, что хорды AB и AC равны.

Question

Вопрос:

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что угол AOB — прямой. Отрезок BC — диаметр окружности. Докажите, что хорды AB и AC равны.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: Доказано** **Доказательство:** 1. Рассмотрим треугольник $AOB$. По условию $\angle AOB = 90^{\circ}$. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности ($OA = OB = R$). Следовательно, $\triangle AOB$ — прямоугольный и равнобедренный. 2. Так как $BC$ — диаметр окружности, то точка $O$ лежит на отрезке $BC$, и $OB = OC = R$. 3. Рассмотрим угол $AOC$. Углы $AOB$ и $AOC$ — смежные, так как точки $B$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой (диаметре). $$\angle AOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$$ 4. Теперь сравним треугольники $AOB$ и $AOC$: - $OA$ — общая сторона; - $OB = OC$ (как радиусы); - $\angle AOB = \angle AOC = 90^{\circ}$. 5. Следовательно, $\triangle AOB = \triangle AOC$ по двум катетам (или по первому признаку равенства треугольников). 6. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = AC$. Что и требовалось доказать.

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что угол AOB — прямой. Отрезок BC — диаметр окружности. Докажите, что хорды AB и AC равны.

Ответ ассистента

Другие решения