Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 12см и 16см.

1. **Ответ: 10 см** Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба: Катеты: $a = \frac{12}{2} = 6$ см, $b = \frac{16}{2} = 8$ см. По теореме Пифагора находим сторону ромба ($c$): $$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)}$$ 2. **Ответ: 48 см²** Пусть $a = 4$ см, $b = 12$ см — основания, $c = 10$ см — большая боковая сторона. В прямоугольной трапеции высота $h$ равна меньшей боковой стороне. Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Она отсечет прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом, равным разности оснований: $x = 12 - 4 = 8$ см. Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора: $$h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ (см)}$$ Площадь трапеции: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{4 + 12}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48 \text{ (см²)}$$ 3. **Ответ: 126 см²** Используем формулу Герона. Стороны: $a = 13$ см, $b = 20$ см, $c = 21$ см. Полупериметр: $$p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ (см)}$$ Площадь: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27 \cdot (27-13) \cdot (27-20) \cdot (27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6}$$ $$S = \sqrt{(9 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{9 \cdot 3^2 \cdot 2^2 \cdot 7^2} = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 126 \text{ (см²)}$$