Дан квадрат ABCD со стороной AB = 4. Найдите скалярное произведение векторов BC и CA.

**Ответ: -16** **Решение:** 1. Скалярное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{CA}$ вычисляется по формуле: $$\vec{BC} \cdot \vec{CA} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos(\alpha)$$ где $\alpha$ — угол между векторами. 2. Найдём длины векторов: - Так как сторона квадрата $AB = 4$, то $|\vec{BC}| = 4$. - Вектор $\vec{CA}$ — это диагональ квадрата. По теореме Пифагора её длина: $$|\vec{CA}| = \sqrt{BC^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ 3. Определим угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{CA}$: - Вектор $\vec{BC}$ направлен вправо по стороне квадрата. - Вектор $\vec{CA}$ направлен из вершины $C$ в вершину $A$ (вдоль диагонали). - Угол между диагональю $CA$ и стороной $CB$ равен $45^\circ$. Но так как векторы направлены так, что $\vec{BC}$ «входит» в точку $C$, а $\vec{CA}$ «выходит» из неё, углом между ними будет угол, смежный с внутренним углом треугольника $ABC$ при вершине $C$. - Угол $\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. 4. Вычисляем произведение: $$\vec{BC} \cdot \vec{CA} = 4 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ)$$ $$\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\vec{BC} \cdot \vec{CA} = 16\sqrt{2} \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{16 \cdot 2}{2} = -16$$