Дан равносторонний треугольник ABC со стороной AB = 4, AM - его медиана. Найдите скалярное произведение векторов AB и AM.

ЗАДАНИЕ №4 **Ответ: 12** 1. В равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a = 4$ медиана $AM$ также является высотой и биссектрисой. Угол при вершине $A$ равен $60^{\circ}$, значит угол $\angle BAM = 30^{\circ}$. 2. Длина медианы (высоты) равностороннего треугольника: $$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ 3. Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AM}$ вычисляется по формуле: $$\vec{AB} \cdot \vec{AM} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AM}| \cdot \cos(\angle BAM)$$ $$\vec{AB} \cdot \vec{AM} = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3 = 12$$ ЗАДАНИЕ №5 **Ответ: -9** 1. В квадрате $ABCD$ со стороной $a = 3$ вектор $\vec{BC}$ направлен вдоль стороны, а вектор $\vec{CA}$ — вдоль диагонали от вершины $C$ к $A$. 2. Угол между векторами: - Вектор $\vec{BC}$ направлен вправо. - Вектор $\vec{CB}$ направлен влево. - Угол между стороной $CB$ и диагональю $CA$ равен $45^{\circ}$. - Следовательно, угол $\alpha$ между $\vec{BC}$ и $\vec{CA}$ равен $180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$. 3. Длина диагонали квадрата: $$|\vec{CA}| = a\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$ 4. Скалярное произведение: $$\vec{BC} \cdot \vec{CA} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos(135^{\circ})$$ $$\vec{BC} \cdot \vec{CA} = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 9\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{9 \cdot 2}{2} = -9$$