Дан квадрат ABCD со стороной AB = 3. Найдите скалярное произведение векторов BC и CA.

**Ответ: -9** Для решения воспользуемся формулой скалярного произведения векторов: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$$ где $\alpha$ — угол между векторами, выходящими из одной точки. 1. Найдём длины векторов: - Так как $ABCD$ — квадрат со стороной $3$, то $|\vec{BC}| = 3$. - Вектор $\vec{CA}$ является диагональю квадрата. По теореме Пифагора: $$|\vec{CA}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ 2. Определим угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{CA}$. Чтобы найти угол между векторами, их нужно отложить от одной точки. Совместим начало вектора $\vec{CA}$ с началом вектора $\vec{BC}$, продлив сторону $BC$ за точку $C$. - Угол между стороной $BC$ и диагональю $CA$ (внутри квадрата) равен $45^\circ$. - Вектор $\vec{CA}$ направлен в противоположную сторону от вектора $\vec{AC}$, поэтому угол между $\vec{BC}$ и $\vec{CA}$ будет внешним к углу $ACB$, то есть: $$\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$$ 3. Вычислим скалярное произведение: $$\vec{BC} \cdot \vec{CA} = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos 135^\circ$$ $$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\vec{BC} \cdot \vec{CA} = 9\sqrt{2} \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{9 \cdot 2}{2} = -9$$