Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = ∛x + x + 3, x ∈ [8; 27].

Question

Вопрос:

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = ∛x + x + 3, x ∈ [8; 27].

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: $y_{min} = 13$, $y_{max} = 33$** 1. **Найдём производную функции:** $$y = \sqrt[3]{x} + x + 3 = x^{\frac{1}{3}} + x + 3$$ $$y' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} + 1 = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + 1$$ 2. **Проанализируем производную:** Так как $\sqrt[3]{x^2} > 0$ для всех $x \in [8; 27]$, то $y' > 0$ на всём указанном промежутке. Это означает, что функция монотонно возрастает. 3. **Вычислим значения на концах отрезка:** Наименьшее значение будет в левой точке ($x = 8$), а наибольшее — в правой ($x = 27$): - $y(8) = \sqrt[3]{8} + 8 + 3 = 2 + 8 + 3 = 13$ - $y(27) = \sqrt[3]{27} + 27 + 3 = 3 + 27 + 3 = 33$

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = ∛x + x + 3, x ∈ [8; 27].

Ответ ассистента

Другие решения