Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 18 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу каждый рабочий, если первый рабочий сделает это на 15 дней быстрее, чем второй?

**Ответ: Первый рабочий — за 30 дней; второй рабочий — за 45 дней.** Пусть $x$ — время работы первого рабочего в днях, тогда второй рабочий выполнит работу за $(x + 15)$ дней. Примем всю работу за $1$. 1. Производительность первого рабочего: $\frac{1}{x}$. 2. Производительность второго рабочего: $\frac{1}{x + 15}$. 3. Общая производительность при совместной работе: $\frac{1}{18}$. Составим и решим уравнение: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 15} = \frac{1}{18}$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{x + 15 + x}{x(x + 15)} = \frac{1}{18}$$ $$\frac{2x + 15}{x^2 + 15x} = \frac{1}{18}$$ Используем свойство пропорции: $$x^2 + 15x = 18(2x + 15)$$ $$x^2 + 15x = 36x + 270$$ $$x^2 - 21x - 270 = 0$$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 441 + 1080 = 1521 = 39^2$$ $$x_1 = \frac{21 + 39}{2} = \frac{60}{2} = 30$$ $$x_2 = \frac{21 - 39}{2} = -9 \text{ (не подходит, так как время не может быть отрицательным)}$$ Значит, первый рабочий выполнит работу за **30 дней**, а второй за $30 + 15 =$ **45 дней**.