В треугольнике ABC медиана AK вдвое меньше стороны BC. Найдите угол A треугольника ABC.

**Ответ: 90°** **Решение:** 1. По условию $AK$ — медиана, проведённая к стороне $BC$. Значит, точка $K$ делит сторону $BC$ пополам: $$BK = KC = \frac{1}{2} BC$$ 2. Также дано, что медиана $AK$ вдвое меньше стороны $BC$: $$AK = \frac{1}{2} BC$$ 3. Из пунктов 1 и 2 следует, что: $$AK = BK = KC$$ 4. Рассмотрим получившиеся треугольники: - В $\triangle ABK$ стороны $AK = BK$, значит, он равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle BAK = ∠ ABK = \alpha$. - В $\triangle ACK$ стороны $AK = KC$, значит, он тоже равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle CAK = \angle ACK = \beta$. 5. Угол $A$ треугольника $ABC$ равен сумме углов $\angle BAK$ и $\angle CAK$: $$\angle A = \alpha + \beta$$ 6. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$ $$(\alpha + \beta) + \alpha + \beta = 180^\circ$$ $$2\alpha + 2\beta = 180^\circ$$ $$2(\alpha + \beta) = 180^\circ$$ $$\alpha + \beta = 90^\circ$$ Следовательно, $\angle A = 90^\circ$.