Решите неравенство (x-1)/x - (x+1)/(x-1) < 2

**Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 0,5) \cup (1; +\infty)$** Решим неравенство: $$\frac{x-1}{x} - \frac{x+1}{x-1} < 2$$ 1. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $x(x-1)$: $$\frac{(x-1)^2 - x(x+1) - 2x(x-1)}{x(x-1)} < 0$$ 2. Раскроем скобки в числителе: $$(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + x) - (2x^2 - 2x) = x^2 - 2x + 1 - x^2 - x - 2x^2 + 2x = -2x^2 - x + 1$$ 3. Получаем неравенство: $$\frac{-2x^2 - x + 1}{x(x-1)} < 0$$ Умножим на $-1$, поменяв знак неравенства: $$\frac{2x^2 + x - 1}{x(x-1)} > 0$$ 4. Найдём корни числителя $2x^2 + x - 1 = 0$: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 = 3^2$ $x_1 = \frac{-1 + 3}{4} = 0,5$; $x_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$ 5. Разложим числитель и определим интервалы для выражения $\frac{2(x - 0,5)(x + 1)}{x(x - 1)} > 0$: - Точки на прямой: $-1, 0, 0,5, 1$. Все точки выколоты (строгое неравенство и знаменатель). - Проверим знаки на интервалах: - $(-\infty; -1): \frac{(-) \cdot (-)}{(-) \cdot (-)} = (+)$ — подходит - $(-1; 0): \frac{(-) \cdot (+)}{(-) \cdot (-)} = (-)$ - $(0; 0,5): \frac{(-) \cdot (+)}{(+) \cdot (-)} = (+)$ — подходит - $(0,5; 1): \frac{(+) \cdot (+)}{(+) \cdot (-)} = (-)$ - $(1; +\infty): \frac{(+) \cdot (+)}{(+) \cdot (+)} = (+)$ — подходит