Концы отрезка AB лежат в двух параллельных плоскостях. Найдите длину отрезка AB, если он образует со своей проекцией на одну из данных плоскостей угол 45°, а расстояние между данными плоскостями равно 4√2 дм.

Question

Вопрос:

Концы отрезка AB лежат в двух параллельных плоскостях. Найдите длину отрезка AB, если он образует со своей проекцией на одну из данных плоскостей угол 45°, а расстояние между данными плоскостями равно 4√2 дм.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 8 дм** **Решение:** 1. Пусть отрезок $AB$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A$ и $B$. Расстояние между плоскостями — это перпендикуляр $h$, опущенный из точки $A$ на плоскость $\beta$. По условию $h = 4\sqrt{2}$ дм. 2. Пусть $B'$ — проекция точки $A$ на плоскость $\beta$. Тогда треугольник $ABB'$ — прямоугольный ($\\angle AB'B = 90^\circ$), где $AB'$ — проекция отрезка $AB$, а $AB' = h = 4\sqrt{2}$ дм (так как это расстояние между плоскостями). 3. Угол между наклонной $AB$ и её проекцией на плоскость равен $45^\circ$. Значит, в прямоугольном треугольнике $ABB'$ угол $\angle BAB' = 45^\circ$. 4. Найдем гипотенузу $AB$ через синус угла: $$\sin(45^\circ) = \frac{AB'}{AB}$$ $$AB = \frac{AB'}{\sin(45^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8 \text{ дм}$$

Ответ ассистента

Другие решения