Из вершины B треугольника ABC, сторона AC которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр BB1. Найдите расстояния от точки B до прямой AC и до плоскости α, если AB = 2 см, ∠BAC = 150° и двугранный угол BACB1 равен 45°.

**Ответ: Расстояние до прямой AC равно 1 см; расстояние до плоскости $\alpha$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.** **Решение:** 1. Найдём расстояние от точки $B$ до прямой $AC$. В треугольнике $ABC$ это будет высота $BH$, опущенная на прямую $AC$. Так как $\angle BAC = 150^{\circ}$, высота $BH$ падает на продолжение стороны $AC$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ (где $\angle AHB = 90^{\circ}$): $$\angle BAH = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$$ $$BH = AB \cdot \sin(30^{\circ}) = 2 \cdot 0,5 = 1 \text{ (см)}$$ 2. Найдём расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$. Это длина перпендикуляра $BB_1$. Рассмотрим линейный угол двугранного угла $BACB_1$. Так как $AC \perp BH$ (по построению) и $AC \perp B_1H$ (по теореме о трёх перпендикулярах, так как $BB_1 \perp \alpha$), то $\angle BHB_1$ — линейный угол данного двугранного угла. По условию $\angle BHB_1 = 45^{\circ}$. 3. В прямоугольном треугольнике $BB_1H$ ($\angle BB_1H = 90^{\circ}$): $$BB_1 = BH \cdot \sin(45^{\circ}) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 \text{ (см)}$$