Какова градусная мера угла F, изображённого на рисунке 278?

3. **Ответ: 46°** Решение: 1) Рассмотрим $\triangle MKF$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. 2) Угол $\angle K = 72^{\circ}$. 3) Угол $\angle M$ состоит из двух частей: $\angle M = 24^{\circ} + \angle NMK$. Но на рисунке точка $N$ лежит на стороне $MK$, а луч $MF$ образует угол с основанием. Исходя из обозначений, угол при вершине $M$ равен $24^{\circ} + 38^{\circ} = 62^{\circ}$ (так как дуги показывают составные части угла). 4) Тогда $\angle F = 180^{\circ} - (\angle K + \angle M) = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 62^{\circ}) = 180^{\circ} - 134^{\circ} = 46^{\circ}$. 4. **Ответ: 9 см** Решение: 1) В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$) находим $\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 2) Так как $BM$ — биссектриса, то $\angle ABM = \angle MBC = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3) В $\triangle MBC$ (прямоугольный): катет $MC$ лежит против угла $\angle MBC = 30^{\circ}$, значит $MC = \frac{1}{2} BM = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см. 4) В $\triangle ABM$: $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle ABM = 30^{\circ}$. Следовательно, треугольник равнобедренный, и $AM = BM = 6$ см. 5) $AC = AM + MC = 6 + 3 = 9$ см. 5. **Доказательство:** 1) Рассмотрим $\triangle AED$ и $\triangle CFB$. По условию $BC \parallel AD$, значит $\angle BCF = \angle EAD$ как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей $AC$. 2) Также дано: $BF = DE$ и $\angle AED = \angle CFB$. 3) Из суммы углов треугольника следует, что третий угол в этих треугольниках тоже равен: $\angle ADE = \angle CBF$. 4) Треугольники $\triangle AED = \triangle CFB$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак). 5) Из равенства треугольников следует равенство сторон $AE = CF$. Тогда $AC - AE = AC - CF$, то есть $EC = AF$. 6) Также из равенства треугольников $AD = CB$ и $ED = FB$. 7) Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. У них сторона $AC$ общая, $BC = AD$ (из п.6), и $\angle BCA = \angle DAC$. Треугольники равны. 8) Из равенства треугольников следует $\angle BAC = \angle DCA$. Это накрест лежащие углы при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то $AB \parallel CD$. Что и требовалось доказать.