№1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса BD. Найдите угол ABC, если угол ABD=35°.

**№1. Ответ: $\angle ABC = 70^{\circ}$, $\angle BCA = 55^{\circ}$** 1. Так как $BD$ — биссектриса угла $ABC$, то $\angle ABC = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 35^{\circ} = 70^{\circ}$. 2. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$. 3. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Тогда $\angle BCA = (180^{\circ} - 70^{\circ}) : 2 = 110^{\circ} : 2 = 55^{\circ}$. **№2. Ответ: $30^{\circ}$** 1. В $\triangle ABM$: по условию $AM = BM$, значит треугольник равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle BAM = \angle ABM = 30^{\circ}$. 2. Угол $BMA = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$. 3. Смежный угол $BMC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. 4. В $\triangle BMC$: по условию $AM$ — медиана, значит $MC = BM = AM$ (так как $AM=BM$). Треугольник $BMC$ равнобедренный с основанием $BC$. 5. Так как $\angle BMC = 60^{\circ}$ и $BM=MC$, то треугольник $BMC$ равносторонний. Значит $\angle MBC = 60^{\circ}$. 6. $\angle BAC = \angle BAM = 30^{\circ}$. **№3. Ответ: $85^{\circ}$** 1. Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. У них сторона $AC$ общая, $AB=CD$ и $BC=AD$ по условию. Значит, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по трем сторонам. 2. Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle BAC = \angle ACD = 33^{\circ}$ и $\angle BCA = \angle CAD = 62^{\circ}$. 3. Находим $\angle BCA = 62^{\circ}$. **№4. Ответ: $37^{\circ}$** 1. Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle CDK$. По условию $AB=BC$, значит $\triangle ABC$ равнобедренный, $\angle BAC = \angle BCA = 106^{\circ}$. Сумма углов: $106+106+37 > 180$, значит в условии опечатка в буквах или цифрах. **Допущение:** Если $AB=BC$ и $\angle BAC = 106^{\circ}$ невозможно, вероятно $\triangle ABC = \triangle DCK$ по двум сторонам ($AB=BC$, $CD=DK$) и углу между ними. 2. Признак равенства треугольников: $\triangle ABC = \triangle DCK$. Тогда $\angle DKC = \angle ABC = 37^{\circ}$.