В прямоугольном треугольнике ABC угол B = 30 градусов, катет AC = 18 см. Найдите гипотенузу AB.

1) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Катет $AC$ лежит против угла $B = 30^{\circ}$, значит: $AC = \frac{1}{2} AB$ $18 = \frac{1}{2} AB$ $AB = 18 \cdot 2 = 36$. **Ответ: 36 см** 2) В прямоугольном треугольнике $BHC$ ($"angle H = 90^{\circ}$): $\sin B = \frac{CH}{BC}$ $\sin B = \frac{5}{10} = 0,5$. Значит, $"angle B = 30^{\circ}$. В треугольнике $ABC$ ($"angle C = 90^{\circ}$): $AC = AB \cdot \sin B$ или $BC = AB \cdot \cos B$. $10 = AB \cdot \cos 30^{\circ}$ $10 = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $AB = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$. **Ответ: \frac{20\sqrt{3}}{3} см** 3) В прямоугольном треугольнике $DMK$ ($"angle D = 90^{\circ}$), если $"angle M = 45^{\circ}$, то второй острый угол $"angle K = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$. Значит, треугольник равнобедренный: $DM = DK = 16$. **Ответ: 16 см** 4) В треугольнике $DMC$ ($"angle C = 90^{\circ}$, $"angle DMC = 30^{\circ}$): $DC = DM \cdot \sin 30^{\circ}$ $9 = DM \cdot \frac{1}{2}$ $DM = 18$ см. В треугольнике $DMK$ ($"angle DMK = 90^{\circ}$): $\cos \angle CMK = \frac{DM}{MK}$ $\cos \angle CMK = \frac{18}{36} = 0,5$. Значит, $"angle CMK = 60^{\circ}$. **Ответ: 60^{\circ}** 5) Треугольник существует тогда и только тогда, когда сумма любых двух его сторон больше третьей стороны ($a + b > c$). 1) $3 + 4 > 5$ ($7 > 5$ — верно), $3 + 5 > 4$ ($8 > 4$ — верно), $4 + 5 > 3$ ($9 > 3$ — верно). **Да, существует.** 2) $4 + 6 > 11$ ($10 > 11$ — ложно). **Нет, не существует.** 3) $9 + 11 > 20$ ($20 > 20$ — ложно, должно быть строго больше). **Нет, не существует.**