В равностороннем треугольнике ABC точка D - середина стороны AB. Из этой точки опущен перпендикуляр DE на сторону AC. Найдите отрезки, на которые точка E разбивает отрезок AC, если сторона данного треугольника равна 16 см.

460. **Ответ: $AE = 4$ см, $EC = 12$ см.** 1) В равностороннем $\triangle ABC$ высота $BD$ также является медианой. Значит, $AD = DC = 16 : 2 = 8$ см. 2) В $\triangle ADE$: $\angle A = 60^\circ$ (так как треугольник равносторонний), $\angle AED = 90^\circ$. Тогда $\angle ADE = 30^\circ$. 3) Катет $AE$ лежит против угла $30^\circ$, значит, $AE = \frac{1}{2} AD = 8 : 2 = 4$ см. 4) Тогда $EC = AC - AE = 16 - 4 = 12$ см. 461. **Ответ: 10 см и 5 см.** 1) Пусть меньший катет $a$, гипотенуза $c$. Против меньшего катета лежит меньший угол $30^\circ$. 2) По свойству прямоугольного треугольника: $a = \frac{1}{2} c$, значит $c = 2a$. 3) По условию $c - a = 5$. Подставляем: $2a - a = 5 \Rightarrow a = 5$ см. 4) Гипотенуза $c = 2 \cdot 5 = 10$ см. 462. **Ответ: $5\sqrt{2}$ см.** 1) В прямоугольном $\triangle AKC$ (где $\angle K = 90^\circ$): катет $CK$ лежит против $\angle A = 30^\circ$. Значит, $CK = \frac{1}{2} AC = 10 : 2 = 5$ см. 2) В прямоугольном $\triangle BKC$: так как $\angle B = 45^\circ$, то $\angle BCK = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Треугольник равнобедренный, значит $BK = CK = 5$ см. 463. **Ответ: 28 см.** 1) В $\triangle ABC$: $\angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 2) В прямоугольном $\triangle BCD$ (где $\angle CDB = 90^\circ$): $\angle BCD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 3) Катет $BD$ лежит против угла $30^\circ$, значит, гипотенуза $BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot 7 = 14$ см. 4) В $\triangle ABC$ катет $BC$ лежит против угла $A = 30^\circ$, значит, гипотенуза $AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 14 = 28$ см. 464. **Ответ: $30^\circ$.** 1) В прямоугольном $\triangle AKC$ гипотенуза $AC = 14$ см, катет $CK = 7$ см. 2) Так как $CK = \frac{1}{2} AC$, то угол, лежащий против катета $CK$ (то есть $\angle A$), равен $30^\circ$. 3) В $\triangle ABC$: $\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.