245 Игральный кубик бросают до тех пор, пока не выпадет число 1 или 3. Постройте дерево эксперимента. Укажите в дереве событие А и найдите его вероятность, если событие А состоит в том, что: а) потребуется ровно 2 броска; б) потребуется три или 4 броска; в) потребуется не более 2 бросков; г) потребуется более 3 бросков.

**Ответ: а) 2/9; б) 16/81; в) 5/9; г) 16/81.** При броске кубика 6 граней. Событие «выпало 1 или 3» (успех) имеет вероятность $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Событие «выпало другое число» (неудача: 2, 4, 5 или 6) имеет вероятность $Q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Дерево эксперимента: 1. Первый бросок: - Успех (1 или 3) с вероятностью $\frac{1}{3}$ (эксперимент закончен). - Неудача (2, 4, 5, 6) с вероятностью $\frac{2}{3}$ (продолжаем). 2. Второй бросок (если была неудача): - Успех с вероятностью $\frac{1}{3}$ (всего $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$). - Неудача с вероятностью $\frac{2}{3}$ (всего $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$). И так далее. Вероятность того, что успех произойдет именно на $k$-м броске: $P(k) = (\frac{2}{3})^{k-1} \cdot \frac{1}{3}$. а) Потребуется ровно 2 броска: Это значит: (неудача, успех). $$P = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$$ б) Потребуется три или 4 броска: Ровно 3 броска (Н, Н, У): $P(3) = (\frac{2}{3})^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$ Ровно 4 броска (Н, Н, Н, У): $P(4) = (\frac{2}{3})^3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{27} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{81}$ Итого: $$\frac{4}{27} + \frac{8}{81} = \frac{12}{81} + \frac{8}{81} = \frac{20}{81}$$ *Примечание: в ответе выше была допущена арифметическая ошибка, правильная сумма вероятностей 3 и 4 бросков — 20/81.* в) Потребуется не более 2 бросков (1 или 2 броска): $P(1) = \frac{1}{3}$ $P(2) = \frac{2}{9}$ Итого: $$\frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$$ г) Потребуется более 3 бросков: Это значит, что в первых трех бросках ни разу не выпало 1 или 3. То есть было три неудачи подряд. $$P = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27} = \frac{24}{81}$$