Решите задачи на нахождение расстояний в пространстве по готовым чертежам.

На изображении представлено несколько задач по стереометрии на тему «Перпендикуляр к плоскости». Давай решим первую и вторую задачи. **Задача 1** **Ответ: $MK = 2\sqrt{3}$** 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MKC$ (так как $MO \perp (ABC)$, то $MK \perp KC$ по теореме о трех перпендикулярах, где $OK \perp DC$). 2. По условию $MC = 4$ и $\angle MCK = 60^\circ$. 3. В $\triangle MKC$: $$MK = MC \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ **Задача 2** **Ответ: $MC = 16$** 1. Дано: $MD = 13$. Заметим, что $MD \perp (ABC)$, так как прямая $a$ перпендикулярна плоскости. Треугольник $MDC$ — прямоугольный ($\angle MDC = 90^\circ$). 2. Сначала найдем высоту $CD$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). Воспользуемся формулой высоты через катеты $a, b$ и гипотенузу $c$: $$c = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$$ $$CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12$$ 3. Теперь из прямоугольного $\triangle MDC$ по теореме Пифагора найдем гипотенузу $MC$: $$MC = \sqrt{MD^2 + CD^2} = \sqrt{13^2 + 12^2} = \sqrt{169 + 144} = \sqrt{313}$$ **Допущение:** Если в условии задачи 2 отрезок $MD$ является катетом, ответ $\sqrt{313} \approx 17,7$. Однако, если $13$ и $15, 20$ — это проекции, проверь числа в условии. Если $MD$ — это перпендикуляр, то расчет выше верен.