Через точку O пересечения диагоналей ромба ABCD проведена прямая a, которая образует с диагональю AC угол в 60°. Расстояние от точки M прямой a до вершины C равно 4. Найди расстояния от точки M до вершин B и D, если известно, что они равны, а диагонали ромба BD и AC равны 6 и 8 соответственно.

**Ответ: 5** 1. Рассмотрим ромб $ABCD$. Точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. По свойствам ромба диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам: $$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ 2. Рассмотрим треугольник $\triangle MOC$ в плоскости, содержащей прямую $a$ и диагональ $AC$. По условию $MC = 4$, $OC = 4$ и $\angle MOC = 60^\circ$ (угол между прямой $a$ и диагональю $AC$). Так как $MO = OC = 4$, треугольник $\triangle MOC$ — равнобедренный. Поскольку угол при вершине $60^\circ$, треугольник является равносторонним. Значит, $MO = 4$. 3. В ромбе $AC \perp BD$. Так как $M$ лежит на прямой $a$, проходящей через $O$, рассмотрим треугольник $\triangle MOB$. Поскольку по условию расстояния $MB = MD$, точка $M$ равноудалена от концов отрезка $BD$, следовательно, проекция точки $M$ на плоскость ромба должна лежать на прямой $AC$. Так как $M$ лежит на прямой $a$, образующей угол $60^\circ$ с $AC$, и $MB=MD$, то прямая $a$ перпендикулярна диагонали $BD$. 4. В прямоугольном треугольнике $\triangle MOB$ ($\angle MOB = 90^\circ$, так как диагонали ромба перпендикулярны, а $MO$ лежит в плоскости, перпендикулярной $BD$ через $O$): $$MB^2 = MO^2 + BO^2$$ $$MB^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$ $$MB = \sqrt{25} = 5$$