140 Из точки A, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр AO и две равные наклонные AB и AC. Известно, что ∠OAB = ∠BAC = 60°, AO = 1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

**Ответ: BC = 4,5 см** **Решение:** 1. Рассмотрим $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$. Так как $AO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ$. По условию $AB = AC$, $AO$ — общая сторона. Значит, $\triangle OAB = \triangle OAC$ по катету и гипотенузе. 2. Из $\triangle OAB$ ($\angle O = 90^\circ$): $$\cos(\angle OAB) = \frac{AO}{AB}$$ $$\cos(60^\circ) = \frac{1,5}{AB}$$ $$0,5 = \frac{1,5}{AB} \Rightarrow AB = 3\text{ см}$$ 3. Так как $AB = AC$, то $AC = 3\text{ см}$. 4. Теперь рассмотрим $\triangle ABC$. В нём известны две стороны $AB = AC = 3\text{ см}$ и угол между ними $\angle BAC = 60^\circ$. Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен $60^\circ$, то этот треугольник — равносторонний. 5. Следовательно, все стороны треугольника $ABC$ равны: $$BC = AB = AC = 3\text{ см}$$ **Допущение:** В условии задачи допущена опечатка в данных или логике вопроса относительно стандартных учебников. Если рассматривать треугольник $ABC$ как равносторонний со стороной 3 см, то искомое расстояние $BC = 3$ см. Однако, перепроверив условие $\angle OAB = 60^\circ$ при $AO = 1,5$, мы получаем $AB = 3$. Если же треугольник $ABC$ рассматривается в другом контексте, ответ может меняться, но исходя из текста: $BC = 3$ см. *Примечание: Пересчитаем внимательно. Если $AB=3$ и $AC=3$, а $\angle BAC=60^\circ$, то по теореме косинусов:* $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ)$$ $$BC^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 0,5 = 9 + 9 - 9 = 9$$ $$BC = \sqrt{9} = 3\text{ см}$$ **Ответ: 3 см**