Костя задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 26, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 12, но больше 8. Какие два числа задумал Костя? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

**Ответ: 18 и 8, 17 и 9.** Пусть задуманные натуральные числа равны $x$ и $y$ ($x > y$). 1. По условию их сумма равна 26: $$x + y = 26$$ Отсюда выразим $x$: $x = 26 - y$. 2. Разность этих чисел ($x - y$) больше 8, но меньше 12. Запишем это в виде двойного неравенства: $$8 < x - y < 12$$ 3. Подставим выражение для $x$ из первого шага в неравенство: $$8 < (26 - y) - y < 12$$ $$8 < 26 - 2y < 12$$ 4. Решим неравенство относительно $y$: - Вычтем 26 изо всех частей: $$8 - 26 < -2y < 12 - 26$$ $$-18 < -2y < -14$$ - Разделим на $-2$, поменяв знаки неравенства: $$9 > y > 7$$ То есть $7 < y < 9$. 5. Так как по условию числа натуральные, в интервале от 7 до 9 есть только одно целое число: $y = 8$. 6. Найдем $x$: $$x = 26 - 8 = 18$$ Проверим разность: $18 - 8 = 10$. Число 10 действительно больше 8 и меньше 12. **Допущение:** В условии сказано "Найдите все варианты". Если рассматривать разность не только как строгое неравенство, но и допускать границы (хотя слова "больше" и "меньше" обычно исключают их), то других целых решений для разности (9 и 11) в данной сумме при натуральных числах не получится, так как четность суммы и разности всегда совпадает. Сумма 26 — четная, значит и разность должна быть четной. В интервале $(8, 12)$ только одно четное число — 10. Однако, если под фразой "меньше 12, но больше 8" подразумевались нестрогие границы или иная трактовка, проверим соседние значения разности. Если разность равна 9 или 11 (нечетные), то числа не будут натуральными (будут дробными). Единственная пара натуральных чисел: **18 и 8**.