Вычислите значение выражения: (6 tg 75°) / (1 - tg² 75°)

**Ответ: -3\sqrt{3}** Для решения воспользуемся тригонометрической формулой тангенса двойного угла: $$\text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}(\alpha)}{1 - \text{tg}^2(\alpha)}$$ 1. Преобразуем выражение, выделив формулу двойного угла: $$\frac{6\text{tg}75^\circ}{1 - \text{tg}^275^\circ} = 3 \cdot \frac{2\text{tg}75^\circ}{1 - \text{tg}^275^\circ} = 3 \cdot \text{tg}(2 \cdot 75^\circ) = 3 \cdot \text{tg}(150^\circ)$$ 2. Найдём значение $\text{tg}150^\circ$: $$\text{tg}150^\circ = \text{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{tg}30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$ 3. Подставим значение в выражение: $$3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\sqrt{3} \cdot \frac{3}{3} = -\sqrt{3}$$ **Допущение:** Если в задании требовалось просто упростить до тангенса угла, то это $3\text{tg}150^\circ$. Выше приведён полный численный расчёт. *Поправочка:* В вычислении выше допущена небольшая спешка в итоговом множителе. $$3 \cdot \text{tg}150^\circ = 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\sqrt{3}$$ Если же значение тангенса $75^\circ$ вычислять иначе, ответ не изменится. Проверим ещё раз: $$\text{tg}150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$ Итого: $3 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\sqrt{3}$.