Двое рабочих могут выполнить задание за 12 дней. Если сначала один из них сделает половину всей работы, а потом остальное сделает другой, то им потребуется 25 дней. За сколько дней каждый рабочий, работая один, может выполнить задание?

**Ответ: 20 дней и 30 дней.** Пусть вся работа равна $1$, время первого рабочего — $x$ дней, второго — $y$ дней. Тогда производительность первого $\frac{1}{x}$, а второго $\frac{1}{y}$. Составим систему уравнений на основе условия задачи: 1. При совместной работе: $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 12 = 1$ 2. При поочерёдной работе по половине задания: $\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y = 25$ Решим систему: $$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ x + y = 50 \end{cases}$$ Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 50 - x$. Подставим в первое: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{50 - x} = \frac{1}{12}$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{50 - x + x}{x(50 - x)} = \frac{1}{12}$$ $$\frac{50}{50x - x^2} = \frac{1}{12}$$ $$600 = 50x - x^2$$ $$x^2 - 50x + 600 = 0$$ По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 50$$ $$x_1 \cdot x_2 = 600$$ Корни уравнения: $x_1 = 20$, $x_2 = 30$. Если $x = 20$, то $y = 50 - 20 = 30$. Если $x = 30$, то $y = 50 - 30 = 20$.