Решите неравенство 2x / (x^2 - 9) < 1 / (x + 2)

**Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; 1) \cup (3; 9)$** **Решение:** 1. Перенесём все члены неравенства в левую часть: $$\frac{2x}{x^2 - 9} - \frac{1}{x + 2} < 0$$ 2. Приведём к общему знаменателю $(x-3)(x+3)(x+2)$: $$\frac{2x(x + 2) - (x^2 - 9)}{(x - 3)(x + 3)(x + 2)} < 0$$ $$\frac{2x^2 + 4x - x^2 + 9}{(x - 3)(x + 3)(x + 2)} < 0$$ $$\frac{x^2 + 4x + 9}{(x - 3)(x + 3)(x + 2)} < 0$$ 3. Рассмотрим числитель $x^2 + 4x + 9$. Найдем дискриминант: $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$$ Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), выражение $x^2 + 4x + 9$ всегда больше нуля при любом $x$. Значит, оно не влияет на смену знака неравенства. 4. Неравенство сводится к: $$\frac{1}{(x - 3)(x + 3)(x + 2)} < 0$$ 5. Определим знаки на интервалах (метод интервалов). Корни знаменателя: $x = 3$, $x = -3$, $x = -2$. Расставим их на прямой: - При $x > 3$: выражение $(+)$ , т.е. $> 0$. - При $x \in (3; 9)$ — *здесь возникла ошибка в моих рассуждениях выше, перепроверим точки*. Верный метод интервалов для $\frac{1}{(x+3)(x+2)(x-3)} < 0$: - $(-\infty; -3)$: $(-)(-)(-) \to (-)$ — подходит - $(-3; -2)$: $(+)(-)(-) \to (+)$ - $(-2; 3)$: $(+)(+)(-) \to (-)$ — подходит - $(3; +\infty)$: $(+)(+)(+) \to (+)$ **Ответ:** $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; 3)$