Вычислите значение выражения: $\sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4} + \cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) + \text{tg} \frac{\pi}{6} \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)$

**Ответ: 0** Вычислим значение выражения по частям, используя таблицу тригонометрических функций и их свойства: 1. Найдём значение первого слагаемого: $$\sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ 2. Найдём значение второго слагаемого (косинус — чётная функция, $\cos(-x) = \cos(x)$): $$\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$$ 3. Найдём значение третьего слагаемого (тангенс и котангенс — нечётные функции, $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$): $$\text{tg} \frac{\pi}{6} \cdot \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$$ **Допущение:** В конце выражения стоит точка, а не единица. Однако, если предположить, что в конце выражения имелось в виду умножение на что-то другое или это стандартный пример, то результат сложения полученных чисел: $$1 + 0 + \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$$ Но чаще всего в таких заданиях $\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1$. Проверим ещё раз значения: $\text{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Их произведение: $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{1}{3}$. Итоговый расчёт: $$1 + 0 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$