Задача № 1. Δ ABC - прямоугольный, CA = 15 см, CB = 8 см, ∠A = 30°. Вычислите скалярное произведение векторов AB и AC, BA и BC, CA и CB

**Допущение: В условии задачи допущена опечатка. Если треугольник прямоугольный с катетами 15 и 8, то угол A не может быть равен 30°. Для решения используем значения сторон CA = 15 см и CB = 8 см, считая угол C прямым ($90^\circ$).** **Ответ:** 1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 225$ 2) $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 64$ 3) $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$ **Решение:** 1. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \text{ см}$$ 2. Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно $a \cdot b \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между ними. * **Для $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:** Угол между ними — это $\angle A$. Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике: $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$. $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos A = 17 \cdot 15 \cdot \frac{15}{17} = 15 \cdot 15 = 225$$ * **Для $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$:** Угол между ними — это $\angle B$. Косинус угла B: $\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$. $$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos B = 17 \cdot 8 \cdot \frac{8}{17} = 8 \cdot 8 = 64$$ * **Для $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$:** Угол между ними — это $\angle C = 90^\circ$. Так как $\cos 90^\circ = 0$, скалярное произведение перпендикулярных векторов всегда равно нулю. $$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 15 \cdot 8 \cdot \cos 90^\circ = 15 \cdot 8 \cdot 0 = 0$$