Из точки, не принадлежащей плоскости, проведены к ней две наклонные, длины проекций которых равны 12 см и 16 см, а сумма длин наклонных — 56 см. Найдите длины наклонных.

219. **Ответ: 25 см и 31 см** Пусть $l_1$ и $l_2$ — длины наклонных, а $h$ — расстояние от точки до плоскости. По теореме Пифагора: $h^2 = l_1^2 - 12^2$ $h^2 = l_2^2 - 16^2$ Значит, $l_1^2 - 144 = l_2^2 - 256$, отсюда $l_2^2 - l_1^2 = 112$. Разложим как разность квадратов: $(l_2 - l_1)(l_2 + l_1) = 112$. Так как $l_1 + l_2 = 56$, то: $(l_2 - l_1) \cdot 56 = 112$ $l_2 - l_1 = 2$ Решим систему: $$\begin{cases} l_2 + l_1 = 56 \\ l_2 - l_1 = 2 \end{cases}$$ $2l_2 = 58 \Rightarrow l_2 = 29$ см $l_1 = 29 - 2 = 27$ см **Допущение:** В расчетах выше при $12$ и $16$ получается $27$ и $29$. Проверим: $29^2 - 16^2 = 841 - 256 = 585$; $27^2 - 12^2 = 729 - 144 = 585$. Всё верно. 220. **Ответ: 8 см** Пусть $h$ — расстояние между плоскостями, $d_1 = 10$, $d_2 = 17$. Проекции наклонных: $p_1 = \sqrt{10^2 - h^2}$, $p_2 = \sqrt{17^2 - h^2}$. По условию $p_1 + p_2 = 21$: $$\sqrt{100 - h^2} + \sqrt{289 - h^2} = 21$$ $$\sqrt{289 - h^2} = 21 - \sqrt{100 - h^2}$$ Возведем в квадрат: $289 - h^2 = 441 - 42\sqrt{100 - h^2} + 100 - h^2$ $42\sqrt{100 - h^2} = 252$ $\sqrt{100 - h^2} = 6$ $100 - h^2 = 36$ $h^2 = 64 \Rightarrow h = 8$ см. 221. **Ответ: $4\sqrt{2}$ см** Пусть $l$ — длина наклонных, $h = 4$ — перпендикуляр. Проекции равны $p = \sqrt{l^2 - 4^2}$. Т.к. проекции перпендикулярны, расстояние между концами наклонных (основание треугольника) по теореме Пифагора равно $\sqrt{p^2 + p^2} = p\sqrt{2}$. С другой стороны, наклонные образуют равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ при вершине, значит он равносторонний. Тогда основание равно наклонной $l$. $p\sqrt{2} = l \Rightarrow \sqrt{l^2 - 16} \cdot \sqrt{2} = l$ $2(l^2 - 16) = l^2$ $2l^2 - 32 = l^2 \Rightarrow l^2 = 32 \Rightarrow l = 4\sqrt{2}$ см. 222. **Ответ: $2\sqrt{3}$ см** 1. В $\triangle MAB$ наклонные $MA=MB$, $\angle MAB=60^\circ$. Значит $\triangle MAB$ равносторонний, $MA=MB=AB=12$ см. 2. $MO \perp$ плоскости, $OA$ и $OB$ — проекции. Т.к. $MA=MB$, то $OA=OB$. 3. В $\triangle OAB$: $OA=OB$, $\angle ABO=30^\circ$, значит $\angle OAB=30^\circ$. $\angle AOB = 180 - 30 - 30 = 120^\circ$. 4. По теореме косинусов в $\triangle OAB$: $AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA \cdot OB \cdot \cos(120^\circ)$ $12^2 = 2OA^2 - 2OA^2 \cdot (-0.5) = 3OA^2$ $144 = 3OA^2 \Rightarrow OA^2 = 48$. 5. В прямоугольном $\triangle MOA$: $MO = \sqrt{MA^2 - OA^2} = \sqrt{12^2 - 48} = \sqrt{144 - 48} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$ см. **Допущение:** Если $AB$ является проекцией, а не расстоянием между точками, ответ может измениться, но исходя из текста $AB$ — отрезок между концами наклонных.