Контрольная работа по геометрии №2 по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника» Вариант 2.

**1. Ответ: 6** Для решения воспользуемся теоремой синусов: $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$. 1. Подставим известные значения: $\frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 30^\circ}$. 2. Учитывая, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем: $$\frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}}$$ $$12 = 2 \cdot AC$$ $$AC = 6$$ **2. Ответ: $\sqrt{13}$ см** Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения третьей стороны $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$ 1. Подставим значения: $c^2 = 5^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ$. 2. Вычислим: $c^2 = 25 + 32 - 40\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 57 - 40 = 17$ (исправлено: $57 - 40 = 17$, но при $25 + 32 - 40 = 17$, значит $c = \sqrt{17}$). **Корректный расчет:** $c^2 = 25 + 32 - 40 = 17$ **Ответ: $\sqrt{17}$ см** **3. Ответ: Равнобедренный** Найдем длины сторон треугольника по координатам вершин $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$: 1. $AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$. 2. $BC = \sqrt{(1 - 3)^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$. 3. $AC = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-3 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53}$. Проверим вид: все стороны разной длины, треугольник разносторонний. Проверим на прямоугольность: $(\sqrt{20})^2 + (\sqrt{29})^2 = 20 + 29 = 49 \neq 53$. Треугольник тупоугольный (так как $53 > 49$), разносторонний. **4. Ответ: 30** В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. 1. По условию $\angle C = 90^\circ$, значит $AB$ — гипотенуза. 2. Точка $M$ — середина $AB$, следовательно, $CM$ — медиана. 3. $CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$.