Прямая MC перпендикулярна к плоскости треугольника ABC; BC = MC = 3; AC = √3. Найдите углы, которые образуют прямые BM и AM с плоскостью треугольника.

**Ответ: 45^\circ и 60^\circ** **Решение:** 1. Так как $MC \perp ABC$, то $MC$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $ABC$, проходящей через $C$. Значит, $\triangle MCB$ и $\triangle MCA$ — прямоугольные ($\angle MCB = \angle MCA = 90^\circ$). 2. Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на данную плоскость. - Проекция наклонной $MB$ на плоскость $ABC$ — это отрезок $CB$. Искомый угол — $\angle MBC$. - Проекция наклонной $MA$ на плоскость $ABC$ — это отрезок $CA$. Искомый угол — $\angle MAC$. 3. Рассмотрим $\triangle MCB$ ($BC=3, MC=3$): $$\text{tg}(\angle MBC) = \frac{MC}{BC} = \frac{3}{3} = 1$$ $$\angle MBC = \text{arctg}(1) = 45^\circ$$ 4. Рассмотрим $\triangle MCA$ ($AC=\sqrt{3}, MC=3$): $$\text{tg}(\angle MAC) = \frac{MC}{AC} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$ $$\angle MAC = \text{arctg}(\sqrt{3}) = 60^\circ$$