18.21. а) tg x - 2 ctg x + 1 = 0; б) (tg x + 5) / 2 = 1 / cos^2 x

а) **Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, x = -\operatorname{arctg} 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$** Решение: 1. Заменим $\operatorname{ctg} x$ на $\frac{1}{\operatorname{tg} x}$: $$\operatorname{tg} x - \frac{2}{\operatorname{tg} x} + 1 = 0$$ 2. Умножим всё на $\operatorname{tg} x$ (при условии $\operatorname{tg} x \neq 0$): $$\operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x - 2 = 0$$ 3. Решим квадратное уравнение относительно $t = \operatorname{tg} x$: $t^2 + t - 2 = 0 \Rightarrow t_1 = 1, t_2 = -2$ 4. Обратная замена: - $\operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ - $\operatorname{tg} x = -2 \Rightarrow x = -\operatorname{arctg} 2 + \pi n$ б) **Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$** Решение: 1. Используем тождество $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \operatorname{tg}^2 x$: $$\frac{\operatorname{tg} x + 5}{2} = 1 + \operatorname{tg}^2 x$$ 2. Умножим на 2 и перенесём всё в одну сторону: $$\operatorname{tg} x + 5 = 2 + 2\operatorname{tg}^2 x$$ $$2\operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x - 3 = 0$$ 3. Решим уравнение относительно $t = \operatorname{tg} x$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$ $t_1 = \frac{1 + 5}{4} = 1.5, t_2 = \frac{1 - 5}{4} = -1$ (ошибка в знаке при переносе, пересчитаем: $2t^2 - t - 3 = 0 \Rightarrow t_1 = 1.5, t_2 = -1$) Исправим: $2\operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x - 3 = 0$ $t_1 = \frac{1 + 5}{4} = 1.5$ $t_2 = \frac{1 - 5}{4} = -1$ - $\operatorname{tg} x = 1.5 \Rightarrow x = \operatorname{arctg} 1.5 + \pi n$ - $\operatorname{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$