13. а) Решите уравнение (1 - cos 2x + sqrt(2) sin x) / (sqrt(2) cos x - 1) = 0. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие интервалу (-pi; pi/2).

**Ответ:** а) $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. б) $-\frac{3\pi}{4}; 0$. **Решение:** а) Решим уравнение $\frac{1 - \cos 2x + \sqrt{2} \sin x}{\sqrt{2} \cos x - 1} = 0$. 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$\sqrt{2} \cos x - 1 \neq 0 \implies \cos x \neq \frac{1}{\sqrt{2}} \implies x \neq \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$$ 2. Приравняем числитель к нулю: $$1 - \cos 2x + \sqrt{2} \sin x = 0.$$ Используем формулу двойного угла $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$: $$2\sin^2 x + \sqrt{2} \sin x = 0,$$ $$\sin x (2\sin x + \sqrt{2}) = 0.$$ 3. Получаем два случая: - $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Все эти корни входят в ОДЗ. - $2\sin x + \sqrt{2} = 0 \implies \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$. 4. Проверка ОДЗ: Корни $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ не подходят, так как для них $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (знаменатель равен 0). Корни $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ подходят, так как для них $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$. б) Отберём корни на интервале $(-\pi; \frac{\pi}{2})$: - Из серии $x = \pi k$ подходят: $-\pi$ (не входит, так как скобка круглая), $0$. - Из серии $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ подходит: $-\frac{3\pi}{4}$.