Решите систему уравнений: $x^2 + xy + y^2 = 7$, $y + 2x = 1$.

Нам нужно решить систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7 \\ y + 2x = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = 1 - 2x $$ Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение: $$ x^2 + x(1 - 2x) + (1 - 2x)^2 = 7 $$ $$ x^2 + x - 2x^2 + 1 - 4x + 4x^2 = 7 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ (x^2 - 2x^2 + 4x^2) + (x - 4x) + 1 = 7 $$ $$ 3x^2 - 3x + 1 = 7 $$ Перенесём 7 в левую часть: $$ 3x^2 - 3x + 1 - 7 = 0 $$ $$ 3x^2 - 3x - 6 = 0 $$ Разделим всё уравнение на 3: $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac $$ Здесь $a = 1$, $b = -1$, $c = -2$. $$ D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 $$ Найдём значения $x$: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ $$ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$ Теперь найдём соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя $y = 1 - 2x$: Для $x_1 = 2$: $$ y_1 = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3 $$ Для $x_2 = -1$: $$ y_2 = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 $$ **Ответ:** $(2; -3)$ и $(-1; 3)$