Найти значение выражения: $\cos 630^\circ - \sin 1470^\circ - \operatorname{ctg} 1125^\circ$

1) Переведем градусы в привычный диапазон от $0^\circ$ до $360^\circ$: * $630^\circ = 360^\circ + 270^\circ$ * $1470^\circ = 4 \cdot 360^\circ + 30^\circ = 1440^\circ + 30^\circ$ * $1125^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 45^\circ = 1080^\circ + 45^\circ$ Теперь подставим эти значения: $$ \cos 630^\circ - \sin 1470^\circ - \operatorname{ctg} 1125^\circ = \cos (360^\circ + 270^\circ) - \sin (4 \cdot 360^\circ + 30^\circ) - \operatorname{ctg} (3 \cdot 360^\circ + 45^\circ) $$ Используя периодичность тригонометрических функций (для косинуса и синуса период $360^\circ$, для котангенса $180^\circ$): $$ \cos 270^\circ - \sin 30^\circ - \operatorname{ctg} 45^\circ $$ Теперь найдем значения: * $\cos 270^\circ = 0$ * $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ * $\operatorname{ctg} 45^\circ = 1$ Подставляем: $$ 0 - \frac{1}{2} - 1 = -1.5 $$ **Ответ: -1.5** 2) Переведем градусы в привычный диапазон от $0^\circ$ до $360^\circ$: * $1800^\circ = 5 \cdot 360^\circ + 0^\circ$ * $495^\circ = 360^\circ + 135^\circ$ * $945^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 225^\circ = 720^\circ + 225^\circ$ Теперь подставим эти значения: $$ \operatorname{tg} 1800^\circ - \sin 495^\circ + \cos 945^\circ = \operatorname{tg} (5 \cdot 360^\circ) - \sin (360^\circ + 135^\circ) + \cos (2 \cdot 360^\circ + 225^\circ) $$ Используя периодичность тригонометрических функций (для тангенса период $180^\circ$, для синуса и косинуса $360^\circ$): $$ \operatorname{tg} 0^\circ - \sin 135^\circ + \cos 225^\circ $$ Теперь найдем значения: * $\operatorname{tg} 0^\circ = 0$ * $\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ * $\cos 225^\circ = \cos (180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Подставляем: $$ 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} $$ **Ответ: -$\sqrt{2}$** 3) Переведем градусы в привычный диапазон от $0^\circ$ до $360^\circ$ и используем свойства четности/нечетности: * $3660^\circ = 10 \cdot 360^\circ + 60^\circ$ * $\sin (-1560^\circ) = -\sin 1560^\circ$ $1560^\circ = 4 \cdot 360^\circ + 120^\circ = 1440^\circ + 120^\circ$ Тогда $-\sin 1560^\circ = -\sin (4 \cdot 360^\circ + 120^\circ) = -\sin 120^\circ$ * $\cos (-450^\circ) = \cos 450^\circ$ $450^\circ = 360^\circ + 90^\circ$ Тогда $\cos 450^\circ = \cos (360^\circ + 90^\circ) = \cos 90^\circ$ Теперь подставим эти значения: $$ 3 \cos 3660^\circ + \sin (-1560^\circ) + \cos (-450^\circ) = 3 \cos (10 \cdot 360^\circ + 60^\circ) - \sin (4 \cdot 360^\circ + 120^\circ) + \cos (360^\circ + 90^\circ) $$ Используя периодичность и свойства тригонометрических функций: $$ 3 \cos 60^\circ - \sin 120^\circ + \cos 90^\circ $$ Теперь найдем значения: * $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ * $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ * $\cos 90^\circ = 0$ Подставляем: $$ 3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} $$ **Ответ: $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$** 4) Переведем градусы в привычный диапазон от $0^\circ$ до $360^\circ$ и используем свойства четности/нечетности: * $4455^\circ = 12 \cdot 360^\circ + 135^\circ = 4320^\circ + 135^\circ$ * $-\cos (-945^\circ) = -\cos 945^\circ$ $945^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 225^\circ = 720^\circ + 225^\circ$ Тогда $-\cos 945^\circ = -\cos (2 \cdot 360^\circ + 225^\circ) = -\cos 225^\circ$ * $\operatorname{tg} 1035^\circ = \operatorname{tg} (5 \cdot 180^\circ + 135^\circ) = \operatorname{tg} 135^\circ$ * $-\operatorname{ctg} (-1500^\circ) = -(-\operatorname{ctg} 1500^\circ) = \operatorname{ctg} 1500^\circ$ $1500^\circ = 8 \cdot 180^\circ + 60^\circ = 1440^\circ + 60^\circ$ Тогда $\operatorname{ctg} 1500^\circ = \operatorname{ctg} (8 \cdot 180^\circ + 60^\circ) = \operatorname{ctg} 60^\circ$ Теперь подставим эти значения: $$ \cos (12 \cdot 360^\circ + 135^\circ) - \cos (2 \cdot 360^\circ + 225^\circ) + \operatorname{tg} (5 \cdot 180^\circ + 135^\circ) + \operatorname{ctg} (8 \cdot 180^\circ + 60^\circ) $$ Используя периодичность и свойства тригонометрических функций: $$ \cos 135^\circ - \cos 225^\circ + \operatorname{tg} 135^\circ + \operatorname{ctg} 60^\circ $$ Теперь найдем значения: * $\cos 135^\circ = \cos (180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ * $-\cos 225^\circ = -\cos (180^\circ + 45^\circ) = -(-\cos 45^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ * $\operatorname{tg} 135^\circ = \operatorname{tg} (180^\circ - 45^\circ) = -\operatorname{tg} 45^\circ = -1$ * $\operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ Подставляем: $$ -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + (-1) + \frac{\sqrt{3}}{3} = 0 - 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 $$ **Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3} - 1$**