Из точки A, не принадлежащей плоскости β, к плоскости β проведён перпендикуляр AC. Точки C и B лежат в плоскости β. ∠CAB равен 60°, AB = 16. Найдите длину перпендикуляра AC.

Из точки $A$, не принадлежащей плоскости $\beta$, к плоскости $\beta$ проведён перпендикуляр $AC$. Точки $C$ и $B$ лежат в плоскости $\beta$. $ \angle CAB = 60^{\circ} $, $AB = 16$. Нужно найти длину перпендикуляра $AC$. Так как $AC$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, то $AC$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $C$. Значит, $AC \perp CB$. Поэтому треугольник $ACB$ является прямоугольным с прямым углом в вершине $C$. В прямоугольном треугольнике $ACB$: * Гипотенуза $AB = 16$ * Угол $ \angle CAB = 60^{\circ} $ * $AC$ — катет, прилежащий к углу $ \angle CAB $. Используем определение косинуса: $$ \cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB} $$ Подставляем известные значения: $$ \cos(60^{\circ}) = \frac{AC}{16} $$ Мы знаем, что $ \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} $. $$ \frac{1}{2} = \frac{AC}{16} $$ Теперь выразим $AC$: $$ AC = 16 \cdot \frac{1}{2} $$ $$ AC = 8 $$ **Ответ:** 8