Найдите корни уравнения: \frac{21}{x+1} = \frac{16}{x-2} - \frac{6}{x}

а) Для того чтобы найти корни уравнения, нам нужно привести его к общему знаменателю и решить полученное уравнение. \ Общий знаменатель для всех дробей: $x(x+1)(x-2)$. \ Ограничения на $x$: $x \ne 0$, $x \ne -1$, $x \ne 2$. \ Уравнение: $$\frac{21}{x+1} = \frac{16}{x-2} - \frac{6}{x}$$ \ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{21x(x-2)}{x(x+1)(x-2)} = \frac{16x(x+1)}{x(x+1)(x-2)} - \frac{6(x+1)(x-2)}{x(x+1)(x-2)}$$ \ Отбрасываем знаменатель: $$21x(x-2) = 16x(x+1) - 6(x+1)(x-2)$$ \ Раскрываем скобки: $$21x^2 - 42x = 16x^2 + 16x - 6(x^2 - x - 2)$$ $$21x^2 - 42x = 16x^2 + 16x - 6x^2 + 6x + 12$$ $$21x^2 - 42x = 10x^2 + 22x + 12$$ \ Переносим все члены в одну сторону: $$21x^2 - 10x^2 - 42x - 22x - 12 = 0$$ $$11x^2 - 64x - 12 = 0$$ \ Находим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-12) = 4096 + 528 = 4624$$ \ Находим корни уравнения: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{64 - \sqrt{4624}}{2 \cdot 11} = \frac{64 - 68}{22} = \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11}$$ $$x_2 = \frac{64 + \sqrt{4624}}{2 \cdot 11} = \frac{64 + 68}{22} = \frac{132}{22} = 6$$ \ Оба корня удовлетворяют ограничениям. \ **Ответ: $x_1 = -\frac{2}{11}$, $x_2 = 6$** б) Находим общий знаменатель для всех дробей. \ Сначала разложим знаменатели: \ $y^2 - 3y = y(y-3)$ \ $y^3 - 9y = y(y^2 - 9) = y(y-3)(y+3)$ \ Общий знаменатель: $y(y-3)(y+3)$. \ Ограничения на $y$: $y \ne 0$, $y \ne 3$, $y \ne -3$. \ Уравнение: $$\frac{2}{y^2 - 3y} - \frac{1}{y - 3} = \frac{5}{y^3 - 9y}$$ $$\frac{2}{y(y-3)} - \frac{1}{y-3} = \frac{5}{y(y-3)(y+3)}$$ \ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{2(y+3)}{y(y-3)(y+3)} - \frac{1 \cdot y(y+3)}{y(y-3)(y+3)} = \frac{5}{y(y-3)(y+3)}$$ \ Отбрасываем знаменатель: $$2(y+3) - y(y+3) = 5$$ \ Раскрываем скобки: $$2y + 6 - y^2 - 3y = 5$$ \ Переносим все члены в одну сторону и приводим подобные: $$-y^2 - y + 6 - 5 = 0$$ $$-y^2 - y + 1 = 0$$ $$y^2 + y - 1 = 0$$ \ Находим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$$ \ Находим корни уравнения: $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$y_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$$ $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$$ \ Оба корня удовлетворяют ограничениям. \ **Ответ: $y_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$, $y_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$** в) Находим общий знаменатель для всех дробей. \ Сначала разложим знаменатели: \ $4x^2 + 4x + 1 = (2x+1)^2$ \ $2x^2 - x = x(2x-1)$ \ $4x^2 - 1 = (2x-1)(2x+1)$ \ Общий знаменатель: $x(2x-1)(2x+1)^2$. \ Ограничения на $x$: $x \ne 0$, $x \ne \frac{1}{2}$, $x \ne -\frac{1}{2}$. \ Уравнение: $$\frac{18}{(2x+1)^2} - \frac{1}{x(2x-1)} = \frac{6}{(2x-1)(2x+1)}$$ \ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{18x(2x-1)}{x(2x-1)(2x+1)^2} - \frac{(2x+1)^2}{x(2x-1)(2x+1)^2} = \frac{6x(2x+1)}{x(2x-1)(2x+1)^2}$$ \ Отбрасываем знаменатель: $$18x(2x-1) - (2x+1)^2 = 6x(2x+1)$$ \ Раскрываем скобки: $$36x^2 - 18x - (4x^2 + 4x + 1) = 12x^2 + 6x$$ $$36x^2 - 18x - 4x^2 - 4x - 1 = 12x^2 + 6x$$ $$32x^2 - 22x - 1 = 12x^2 + 6x$$ \ Переносим все члены в одну сторону: $$32x^2 - 12x^2 - 22x - 6x - 1 = 0$$ $$20x^2 - 28x - 1 = 0$$ \ Находим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-1) = 784 + 80 = 864$$ \ Находим корни уравнения: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{28 - \sqrt{864}}{2 \cdot 20} = \frac{28 - 12\sqrt{6}}{40} = \frac{7 - 3\sqrt{6}}{10}$$ $$x_2 = \frac{28 + \sqrt{864}}{2 \cdot 20} = \frac{28 + 12\sqrt{6}}{40} = \frac{7 + 3\sqrt{6}}{10}$$ \ Оба корня удовлетворяют ограничениям. \ **Ответ: $x_1 = \frac{7 - 3\sqrt{6}}{10}$, $x_2 = \frac{7 + 3\sqrt{6}}{10}$** г) Находим общий знаменатель для всех дробей. \ Сначала разложим знаменатели: \ $16y^2 - 9 = (4y-3)(4y+3)$ \ $3-4y = -(4y-3)$ \ $3+4y$ \ Общий знаменатель: $(4y-3)(4y+3)$. \ Ограничения на $y$: $y \ne \frac{3}{4}$, $y \ne -\frac{3}{4}$. \ Уравнение: $$\frac{3(4y^2 + 10y - 7)}{16y^2 - 9} = \frac{3y - 7}{3 - 4y} + \frac{6y + 5}{3 + 4y}$$ $$\frac{3(4y^2 + 10y - 7)}{(4y-3)(4y+3)} = -\frac{3y - 7}{4y - 3} + \frac{6y + 5}{4y + 3}$$ \ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{3(4y^2 + 10y - 7)}{(4y-3)(4y+3)} = \frac{-(3y - 7)(4y+3)}{(4y-3)(4y+3)} + \frac{(6y + 5)(4y-3)}{(4y-3)(4y+3)}$$ \ Отбрасываем знаменатель: $$3(4y^2 + 10y - 7) = -(3y - 7)(4y+3) + (6y + 5)(4y-3)$$ \ Раскрываем скобки: $$12y^2 + 30y - 21 = -(12y^2 + 9y - 28y - 21) + (24y^2 - 18y + 20y - 15)$$ $$12y^2 + 30y - 21 = -(12y^2 - 19y - 21) + (24y^2 + 2y - 15)$$ $$12y^2 + 30y - 21 = -12y^2 + 19y + 21 + 24y^2 + 2y - 15$$ $$12y^2 + 30y - 21 = 12y^2 + 21y + 6$$ \ Переносим все члены в одну сторону: $$12y^2 - 12y^2 + 30y - 21y - 21 - 6 = 0$$ $$9y - 27 = 0$$ $$9y = 27$$ $$y = 3$$ \ Проверяем ограничения. $y=3$ удовлетворяет ограничениям. \ **Ответ: $y = 3$**