Решите уравнение $(\frac{1}{5})^x \cdot 3^x = \sqrt{\frac{27}{125}}$

Нам нужно решить уравнение: $$\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 3^x = \sqrt{\frac{27}{125}}$$ Сначала перепишем левую часть уравнения: $$\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 3^x = \left(\frac{1}{5} \cdot 3\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^x$$ Теперь преобразуем правую часть уравнения. Заметим, что $27 = 3^3$ и $125 = 5^3$. Также $\sqrt[2]{a} = a^{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$. Так как степень корня не указана, это квадратный корень, но $27$ и $125$ — это кубы чисел. Скорее всего, здесь опечатка, и должен быть кубический корень. **Допущение: В правой части уравнения должен быть кубический корень, а не квадратный.** Если это кубический корень, то: $$\sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \sqrt[3]{\frac{3^3}{5^3}} = \sqrt[3]{\left(\frac{3}{5}\right)^3} = \frac{3}{5}$$ Теперь приравняем левую и правую части: $$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{3}{5}$$ Отсюда следует, что: $$x = 1$$ **Ответ:** $x = 1$