Question

Упростите алгебраическое выражение: $\frac{x+3}{x^2+9} \cdot \left( \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} \right)$

Accepted Answer

Нам нужно упростить выражение:

$$ \frac{x+3}{x^2+9} \cdot \left( \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} \right) $$

1.  Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(x-3)(x+3) = x^2-9$:

$$ \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{(x-3)(x-3)}{(x-3)(x+3)} $$

$$ = \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^2+6x+9 + x^2-6x+9}{x^2-9} $$

$$ = \frac{2x^2+18}{x^2-9} = \frac{2(x^2+9)}{x^2-9} $$

2.  Теперь подставим это упрощённое выражение обратно в исходное:

$$ \frac{x+3}{x^2+9} \cdot \frac{2(x^2+9)}{x^2-9} $$

3.  Сократим $(x^2+9)$ в числителе и знаменателе:

$$ \frac{x+3}{\cancel{x^2+9}} \cdot \frac{2\cancel{(x^2+9)}}{x^2-9} = \frac{2(x+3)}{x^2-9} $$

4.  Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $x^2-9 = (x-3)(x+3)$:

$$ \frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)} $$

5.  Сократим $(x+3)$ в числителе и знаменателе:

$$ \frac{2\cancel{(x+3)}}{(x-3)\cancel{(x+3)}} = \frac{2}{x-3} $$

Ответ: $$ \frac{2}{x-3} $$

Упростите алгебраическое выражение: $\frac{x+3}{x^2+9} \cdot \left( \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} \right)$

Ответ ассистента