Решите уравнение $2x^2 - 3x + \sqrt{x-2} = \sqrt{x-2} + 14$

Решим уравнение: $$2x^2 - 3x + \sqrt{x-2} = \sqrt{x-2} + 14$$ Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$x - 2 \ge 0$$ $$x \ge 2$$ Теперь упростим уравнение, вычтя $\sqrt{x-2}$ из обеих частей: $$2x^2 - 3x = 14$$ Перенесём 14 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $$2x^2 - 3x - 14 = 0$$ Найдём дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14)$$ $$D = 9 - (-112)$$ $$D = 9 + 112$$ $$D = 121$$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём корни $x_1$ и $x_2$ по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2}$$ $$x_1 = \frac{3 - 11}{4}$$ $$x_1 = \frac{-8}{4}$$ $$x_1 = -2$$ $$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2}$$ $$x_2 = \frac{3 + 11}{4}$$ $$x_2 = \frac{14}{4}$$ $$x_2 = \frac{7}{2}$$ $$x_2 = 3.5$$ Проверим, подходят ли найденные корни под ОДЗ $x \ge 2$: Для $x_1 = -2$: $-2 < 2$, поэтому $x_1 = -2$ не является решением. Для $x_2 = 3.5$: $3.5 \ge 2$, поэтому $x_2 = 3.5$ является решением. **Ответ:** $3.5$