Вычислите: $12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (0,5)^{\frac{1}{3}}$

№1. Вычислите: $12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (0,5)^{\frac{1}{3}}$ Сначала перепишем числа в виде произведений: $$(12)^{\frac{1}{3}} = (2^2 \cdot 3)^{\frac{1}{3}}$$ $$(6)^{\frac{2}{3}} = (2 \cdot 3)^{\frac{2}{3}}$$ $$(0,5)^{\frac{1}{3}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}} = (2^{-1})^{\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{1}{3}}$$ Теперь подставим это в выражение: $$(2^2 \cdot 3)^{\frac{1}{3}} \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}$$ Используем свойство степеней $(ab)^c = a^c b^c$ и $(a^b)^c = a^{bc}$: $$2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}$$ Теперь сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сложим показатели степеней: $$2^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}$$ $$2^{\frac{2+2-1}{3}} \cdot 3^{\frac{1+2}{3}}$$ $$2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}$$ $$2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6$$ **Ответ: 6** №2. Упростите выражение: $a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{5}{3}} a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}}$ Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $$a^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{5}{3}} b^{\frac{1}{6}}$$ Сложим показатели степеней для одинаковых оснований: $$a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} b^{\frac{5}{3} + \frac{1}{6}}$$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{5}{3} + \frac{1}{6} = \frac{10}{6} + \frac{1}{6} = \frac{11}{6}$$ Получаем: $$a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{11}{6}}$$ **Ответ:** $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{11}{6}}$ №3. Решите уравнения: a) $2^{x+4} - 2^x = 120$ Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $$2^x \cdot 2^4 - 2^x = 120$$ $$2^x \cdot 16 - 2^x = 120$$ Вынесем $2^x$ за скобки: $$2^x (16 - 1) = 120$$ $$2^x \cdot 15 = 120$$ Разделим обе части на 15: $$2^x = \frac{120}{15}$$ $$2^x = 8$$ Представим 8 как степень двойки: $$2^x = 2^3$$ Значит, $x=3$. **Ответ:** $x=3$ б) $9^x - 3^{x+1} = 54$ Представим $9^x$ как $(3^2)^x = 3^{2x}$ и $3^{x+1}$ как $3^x \cdot 3^1$: $$(3^x)^2 - 3^x \cdot 3 = 54$$ Пусть $y = 3^x$. Тогда уравнение примет вид: $$y^2 - 3y = 54$$ Перенесем 54 в левую часть: $$y^2 - 3y - 54 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$$ $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$y = \frac{3 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 1}$$ $$y = \frac{3 \pm 15}{2}$$ Находим два корня для $y$: $$y_1 = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$y_2 = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$ Теперь вернемся к замене $y = 3^x$: Случай 1: $3^x = 9$ $$3^x = 3^2$$ $$x = 2$$ Случай 2: $3^x = -6$ Уравнение $3^x = -6$ не имеет решений, так как $3^x$ всегда положительно. **Ответ:** $x=2$ в) $3 \cdot 25^x - 8 \cdot 15^x + 5 \cdot 9^x = 0$ Разделим все члены уравнения на $9^x$ (так как $9^x \neq 0$): $$3 \cdot \frac{25^x}{9^x} - 8 \cdot \frac{15^x}{9^x} + 5 \cdot \frac{9^x}{9^x} = 0$$ $$3 \cdot \left(\frac{25}{9}\right)^x - 8 \cdot \left(\frac{15}{9}\right)^x + 5 = 0$$ Упростим дроби: $$3 \cdot \left(\left(\frac{5}{3}\right)^2\right)^x - 8 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^x + 5 = 0$$ $$3 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{2x} - 8 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^x + 5 = 0$$ Пусть $t = \left(\frac{5}{3}\right)^x$. Тогда уравнение примет вид: $$3t^2 - 8t + 5 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$$ $$t = \frac{-(-8) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3}$$ $$t = \frac{8 \pm 2}{6}$$ Находим два корня для $t$: $$t_1 = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$ $$t_2 = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ Теперь вернемся к замене $t = \left(\frac{5}{3}\right)^x$: Случай 1: $\left(\frac{5}{3} ight)^x = \frac{5}{3}$ $$x = 1$$ Случай 2: $\left(\frac{5}{3} ight)^x = 1$ Любое число в степени 0 равно 1. Значит: $$x = 0$$ **Ответ:** $x=0$, $x=1$ №4. Решите неравенства: a) $8^{2x+1} > 0,125$ Представим 0,125 в виде дроби: $$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$$ Теперь подставим это в неравенство: $$8^{2x+1} > \frac{1}{8}$$ Представим $\frac{1}{8}$ как $8^{-1}$: $$8^{2x+1} > 8^{-1}$$ Поскольку основание степени (8) больше 1, мы можем убрать основания, сохранив знак неравенства: $$2x+1 > -1$$ Вычтем 1 из обеих частей: $$2x > -1 - 1$$ $$2x > -2$$ Разделим на 2: $$x > -1$$ **Ответ:** $x > -1$ б) $5^{5-4x} - 2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{3-4x} - 5 \ge 0$ Перепишем $\left(\frac{1}{5} ight)^{3-4x}$ как $5^{-(3-4x)} = 5^{4x-3}$: $$5^{5-4x} - 2 \cdot 5^{4x-3} - 5 \ge 0$$ Представим $5^{5-4x}$ как $5^5 \cdot 5^{-4x} = 5^5 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{4x}$ и $5^{4x-3}$ как $5^{4x} \cdot 5^{-3}$: $$5^5 \cdot 5^{-4x} - 2 \cdot 5^{4x} \cdot 5^{-3} - 5 \ge 0$$ $$3125 \cdot \frac{1}{5^{4x}} - 2 \cdot \frac{5^{4x}}{125} - 5 \ge 0$$ Чтобы избежать работы с дробями, преобразуем: $5^{5-4x} = 5^5 \cdot (5^{-x})^4$ и $5^{4x-3} = 5^{4x} \cdot 5^{-3} = (5^x)^4 \cdot 5^{-3}$ Еще один способ: вынесем $5^{4x}$ или $5^{-4x}$ за скобки, но сначала приведем к одному основанию $5^x$. Перепишем $5^{4x-3}$ как $5^{4x} \cdot 5^{-3}$: $$5^{5-4x} - 2 \cdot 5^{4x-3} - 5 \ge 0$$ $$5^{5-4x} - 2 \cdot 5^{4x} \cdot 5^{-3} - 5 \ge 0$$ Заметим, что $5^{5-4x} = 5^5 \cdot 5^{-4x}$ и $5^{4x-3} = 5^{-3} \cdot 5^{4x}$. Можно домножить все на $5^{4x}$. Тогда $5^{5-4x} \cdot 5^{4x} = 5^5 = 3125$. $$5^5 - 2 \cdot 5^{4x} \cdot 5^{-3} \cdot 5^{4x} - 5 \cdot 5^{4x} \ge 0$$ Этот способ усложнит. Вернемся к более простому: $$5^{5-4x} - 2 \cdot 5^{4x-3} - 5 \ge 0$$ Пусть $y = 5^{4x}$. Тогда $5^{-4x} = \frac{1}{y}$. $$5^5 \cdot 5^{-4x} - 2 \cdot 5^{4x} \cdot 5^{-3} - 5 \ge 0$$ $$3125 \cdot \frac{1}{y} - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{125} - 5 \ge 0$$ $$\frac{3125}{y} - \frac{2y}{125} - 5 \ge 0$$ Домножим всё на $125y$ (мы знаем, что $y = 5^{4x} > 0$, поэтому знак неравенства не поменяется). $$3125 \cdot 125 - 2y^2 - 5 \cdot 125y \ge 0$$ $$390625 - 2y^2 - 625y \ge 0$$ $$-2y^2 - 625y + 390625 \ge 0$$ Разделим на -1 и поменяем знак неравенства: $$2y^2 + 625y - 390625 \le 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $2y^2 + 625y - 390625 = 0$: $$D = 625^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-390625) = 390625 + 3125000 = 3515625$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{3515625} = 1875$$ $$y = \frac{-625 \pm 1875}{2 \cdot 2}$$ $$y = \frac{-625 \pm 1875}{4}$$ $$y_1 = \frac{-625 + 1875}{4} = \frac{1250}{4} = 312.5$$ $$y_2 = \frac{-625 - 1875}{4} = \frac{-2500}{4} = -625$$ Мы знаем, что $y = 5^{4x} > 0$. Значит, $y_2 = -625$ нам не подходит. Неравенство $2y^2 + 625y - 390625 \le 0$ выполняется между корнями, так как парабола направлена ветвями вверх: $$-625 \le y \le 312.5$$ Учитывая, что $y > 0$, имеем: $$0 < y \le 312.5$$ Теперь заменим $y$ обратно на $5^{4x}$: $$5^{4x} \le 312.5$$ Чтобы решить это, нам нужно представить 312.5 как степень 5. Или взять логарифм: $$4x \le \log_5(312.5)$$ Давай проверим степени 5: $$5^1 = 5$$ $$5^2 = 25$$ $$5^3 = 125$$ $$5^4 = 625$$ $312.5 = \frac{625}{2}$. Это не является целой степенью 5. В таком случае, если не предполагается использование логарифмов, возможно, я не совсем правильно преобразовал выражение. Проверим другой подход. $5^{5-4x} - 2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{3-4x} - 5 \ge 0$ $5^{5-4x} - 2 \cdot 5^{-(3-4x)} - 5 \ge 0$ $5^{5-4x} - 2 \cdot 5^{4x-3} - 5 \ge 0$ Пусть $t = 5^{4x}$. Тогда $5^{-4x} = \frac{1}{t}$. $5^5 \cdot 5^{-4x} - 2 \cdot 5^{4x} \cdot 5^{-3} - 5 \ge 0$ $3125 \cdot \frac{1}{t} - 2 \cdot t \cdot \frac{1}{125} - 5 \ge 0$ Умножим всё на $125t$ (так как $t = 5^{4x} > 0$, знак неравенства не изменится): $3125 \cdot 125 - 2t^2 - 5 \cdot 125t \ge 0$ $390625 - 2t^2 - 625t \ge 0$ $2t^2 + 625t - 390625 \le 0$ Корни $t_1 = 312.5$ и $t_2 = -625$. Так как $t = 5^{4x} > 0$, нас интересует интервал $0 < t \le 312.5$. Подставляем $t = 5^{4x}$: $5^{4x} \le 312.5$ Чтобы оценить $312.5$ как степень числа 5, заметим, что $5^3 = 125$ и $5^4 = 625$. Значит, $5^3 < 312.5 < 5^4$. Если нужно точное решение, используем логарифмы: $4x \le \log_5(312.5)$ $x \le \frac{\log_5(312.5)}{4}$ Если требуется рациональный ответ без логарифмов, то, возможно, в условии задачи ожидалось, что $312.5$ будет степенью $5$ или связанным числом. Рассмотрим выражение $5^{5-4x} - 2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{3-4x} - 5 \ge 0$ внимательнее. Возможно, есть другая логика. Перепишем все к одному основанию $5$: $5^{5-4x} - 2 \cdot 5^{-(3-4x)} - 5 \ge 0$ $5^{5-4x} - 2 \cdot 5^{4x-3} - 5 \ge 0$ $5^5 \cdot 5^{-4x} - 2 \cdot 5^{4x} \cdot 5^{-3} - 5 \ge 0$ Пусть $5^{4x} = z$. Тогда $5^{-4x} = \frac{1}{z}$. $3125 \cdot \frac{1}{z} - 2 \cdot z \cdot \frac{1}{125} - 5 \ge 0$ $?rac{3125}{z} - \frac{2z}{125} - 5 \ge 0$ Приведем к общему знаменателю $125z$: $?rac{3125 \cdot 125 - 2z^2 - 5 \cdot 125z}{125z} \ge 0$ $?rac{390625 - 2z^2 - 625z}{125z} \ge 0$ Так как $z = 5^{4x} > 0$, то знаменатель $125z > 0$. Значит, числитель должен быть $\ge 0$: $390625 - 2z^2 - 625z \ge 0$ $-2z^2 - 625z + 390625 \ge 0$ $2z^2 + 625z - 390625 \le 0$ Корни этого квадратного уравнения $z_1 = 312.5$ и $z_2 = -625$. Поскольку парабола $2z^2 + 625z - 390625$ направлена ветвями вверх, неравенство $\le 0$ выполняется между корнями: $-625 \le z \le 312.5$ Учитывая, что $z = 5^{4x} > 0$, получаем: $0 < 5^{4x} \le 312.5$ Так как $5^3 = 125$ и $5^4 = 625$, то $312.5$ находится между $5^3$ и $5^4$. $5^{4x} \le 312.5$ Чтобы получить более точное значение, воспользуемся логарифмами по основанию 5: $4x \le \log_5(312.5)$ $x \le \frac{\log_5(312.5)}{4}$ Значение $\log_5(312.5) = \log_5(\frac{625}{2}) = \log_5(5^4) - \log_5(2) = 4 - \log_5(2)$. Тогда $x \le \frac{4 - \log_5(2)}{4} = 1 - \frac{\log_5(2)}{4}$. Если ожидается ответ без логарифмов, то $312.5$ может быть приближением или в задаче опечатка. Без уточнения, это наиболее точный ответ. **Ответ:** $x \le 1 - \frac{\log_5(2)}{4}$