На какой высоте кинетическая энергия камня уменьшится в 5 раз по сравнению с начальной кинетической энергией, если камень брошен с поверхности Земли вертикально вверх со скоростью 10 м/с.

Начальная кинетическая энергия камня: $$E_{к1} = \frac{mv_1^2}{2}$$ Конечная кинетическая энергия камня, когда она уменьшится в 5 раз: $$E_{к2} = \frac{E_{к1}}{5} = \frac{mv_2^2}{2}$$ Приравниваем и находим $v_2$: $$\frac{mv_1^2}{2 \cdot 5} = \frac{mv_2^2}{2} \implies \frac{v_1^2}{5} = v_2^2 \implies v_2 = \frac{v_1}{\sqrt{5}}$$ Используем закон сохранения энергии. В начальный момент вся энергия кинетическая, а на высоте $h$ есть кинетическая и потенциальная энергия. $$E_{к1} = E_{к2} + E_п$$ $$ \frac{mv_1^2}{2} = \frac{mv_2^2}{2} + mgh$$ Делим все на $m$: $$\frac{v_1^2}{2} = \frac{v_2^2}{2} + gh$$ Выражаем $h$: $$gh = \frac{v_1^2 - v_2^2}{2} \implies h = \frac{v_1^2 - v_2^2}{2g}$$ Подставляем $v_2 = \frac{v_1}{\sqrt{5}}$: $$h = \frac{v_1^2 - (\frac{v_1}{\sqrt{5}})^2}{2g} = \frac{v_1^2 - \frac{v_1^2}{5}}{2g} = \frac{\frac{5v_1^2 - v_1^2}{5}}{2g} = \frac{4v_1^2}{10g} = \frac{2v_1^2}{5g}$$ Подставляем значения: $v_1 = 10 \text{ м/с}$, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$. $$h = \frac{2 \cdot (10 \text{ м/с})^2}{5 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{2 \cdot 100}{49} = \frac{200}{49} \approx 4.08$$ **Ответ:** 4.08