Представьте в виде дроби

1. Представьте в виде дроби: а) Чтобы привести эти дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное для $2a$ и $a^2$. Это будет $2a^2$. Для первой дроби нужно умножить числитель и знаменатель на $a$, для второй — на $2$. Затем вычитаем числители. $$\frac{3-2a}{2a} - \frac{1-a^2}{a^2} = \frac{a(3-2a)}{2a^2} - \frac{2(1-a^2)}{2a^2} = \frac{3a-2a^2 - (2-2a^2)}{2a^2} = \frac{3a-2a^2 - 2+2a^2}{2a^2} = \frac{3a-2}{2a^2}$$ б) Здесь нужно найти общий знаменатель для $3x+y$ и $3x-y$. Это будет произведение этих выражений, которое равно $9x^2-y^2$ (разность квадратов). Первую дробь умножаем на $3x-y$, вторую на $3x+y$. Затем вычитаем числители. $$\frac{1}{3x+y} - \frac{1}{3x-y} = \frac{3x-y}{(3x+y)(3x-y)} - \frac{3x+y}{(3x-y)(3x+y)} = \frac{3x-y-(3x+y)}{9x^2-y^2} = \frac{3x-y-3x-y}{9x^2-y^2} = \frac{-2y}{9x^2-y^2}$$ в) Общий знаменатель для $b-2$ и $b^2-2b$ — это $b(b-2)$. Так как $b^2-2b = b(b-2)$. Первую дробь умножаем на $b$, вторую оставляем без изменений. Затем вычитаем числители. $$\frac{3}{b-2} - \frac{4-3b}{b^2-2b} = \frac{3b}{b(b-2)} - \frac{4-3b}{b(b-2)} = \frac{3b-(4-3b)}{b(b-2)} = \frac{3b-4+3b}{b(b-2)} = \frac{6b-4}{b(b-2)}$$ **Ответ:** а) $$\frac{3a-2}{2a^2}$$ б) $$\frac{-2y}{9x^2-y^2}$$ в) $$\frac{6b-4}{b(b-2)}$$ 2. Представьте выражение в виде дроби: а) Здесь дроби умножаются. Нужно умножить числители и знаменатели между собой, а затем сократить одинаковые множители. $$\frac{28p^4}{q^6} \cdot \frac{q^5}{56p^4} = \frac{28p^4q^5}{56p^4q^6}$$ Сокращаем $28$ и $56$ на $28$: $\frac{1}{2}$. Сокращаем $p^4$ и $p^4$: $1$. Сокращаем $q^5$ и $q^6$: $\frac{1}{q}$. В итоге получаем: $$\frac{1}{2q}$$ б) Здесь нужно выполнить деление дроби на выражение. Для этого деление заменяем умножением на обратное выражение. Выражение $30x^2y$ можно представить как $\frac{30x^2y}{1}$. Обратное к нему будет $\frac{1}{30x^2y}$. $$\frac{72x^3y}{z} : (30x^2y) = \frac{72x^3y}{z} \cdot \frac{1}{30x^2y} = \frac{72x^3y}{30x^2yz}$$ Сокращаем $72$ и $30$ на $6$: $\frac{12}{5}$. Сокращаем $x^3$ и $x^2$: $x$. Сокращаем $y$ и $y$: $1$. В итоге получаем: $$\frac{12x}{5z}$$ в) Тут нужно выполнить деление двух дробей. Для этого первую дробь умножаем на дробь, обратную второй. $$\frac{x^2-1}{x^2-9} : \frac{5x+10}{x-1} = \frac{x^2-1}{x^2-9} \cdot \frac{x-1}{5x+10}$$ Теперь разложим числители и знаменатели на множители. Используем формулы разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и вынесение общего множителя. $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ $5x+10 = 5(x+2)$ Подставляем разложенные множители в выражение: $$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x-1}{5(x+2)} = \frac{(x-1)^2(x+1)}{5(x-3)(x+3)(x+2)}$$ **Ответ:** а) $$\frac{1}{2q}$$ б) $$\frac{12x}{5z}$$ в) $$\frac{(x-1)^2(x+1)}{5(x-3)(x+3)(x+2)}$$ 3. Найдите значение выражения $\frac{x-6y^2}{2y} + 3y$ при $x=-8$, $y=0,1$. Сначала упростим выражение: $$\frac{x-6y^2}{2y} + 3y = \frac{x}{2y} - \frac{6y^2}{2y} + 3y = \frac{x}{2y} - 3y + 3y = \frac{x}{2y}$$ Теперь подставим значения $x=-8$ и $y=0,1$ в упрощенное выражение: $$\frac{-8}{2 \cdot 0,1} = \frac{-8}{0,2}$$ Чтобы разделить на десятичную дробь, умножим числитель и знаменатель на 10: $$\frac{-8 \cdot 10}{0,2 \cdot 10} = \frac{-80}{2} = -40$$ **Ответ: $-40$** 4. Упростить выражение: $\frac{2}{x-4} - \frac{x+8}{x^2-16} - \frac{1}{x}$ Сначала разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $x^2-16 = (x-4)(x+4)$. Выражение примет вид: $$\frac{2}{x-4} - \frac{x+8}{(x-4)(x+4)} - \frac{1}{x}$$ Найдем общий знаменатель для всех трех дробей. Это будет $x(x-4)(x+4)$. Для первой дроби дополнительный множитель $x(x+4)$. Для второй дроби дополнительный множитель $x$. Для третьей дроби дополнительный множитель $(x-4)(x+4)$. Приводим дроби к общему знаменателю: $$\frac{2 \cdot x(x+4)}{x(x-4)(x+4)} - \frac{x(x+8)}{x(x-4)(x+4)} - \frac{(x-4)(x+4)}{x(x-4)(x+4)}$$ Теперь объединяем дроби с общим знаменателем и упрощаем числитель: $$\frac{2x(x+4) - x(x+8) - (x-4)(x+4)}{x(x-4)(x+4)}$$ Раскрываем скобки в числителе: $$2x^2 + 8x - (x^2 + 8x) - (x^2 - 16)$$ $$2x^2 + 8x - x^2 - 8x - x^2 + 16$$ Приводим подобные слагаемые: $$(2x^2 - x^2 - x^2) + (8x - 8x) + 16 = 0 + 0 + 16 = 16$$ Таким образом, упрощенное выражение равно: $$\frac{16}{x(x-4)(x+4)}$$ **Ответ:** $$\frac{16}{x(x-4)(x+4)}$$