Найдите диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания в прямоугольном параллелепипеде с измерениями $\sqrt{2}$, 5, 13.

1. Найдем диагональ основания $AC$. В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ABC$. $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ $$AC^2 = (\sqrt{2})^2 + 5^2$$ $$AC^2 = 2 + 25 = 27$$ $$AC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ 2. Найдем диагональ параллелепипеда $AC_1$. В прямоугольном параллелепипеде $AC_1$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ACC_1$. Катет $CC_1$ равен высоте параллелепипеда, то есть 13. $$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$$ $$AC_1^2 = (3\sqrt{3})^2 + 13^2$$ $$AC_1^2 = 27 + 169 = 196$$ $$AC_1 = \sqrt{196} = 14$$ 3. Найдем синус угла между диагональю параллелепипеда $AC_1$ и плоскостью его основания $ABC$. Этот угол — $\angle C_1AC$. В прямоугольном треугольнике $ACC_1$ синус угла $\angle C_1AC$ равен отношению противолежащего катета $CC_1$ к гипотенузе $AC_1$. $$\sin(\angle C_1AC) = \frac{CC_1}{AC_1}$$ $$\sin(\angle C_1AC) = \frac{13}{14}$$ **Ответ:** Диагональ параллелепипеда равна 14, синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания равен $\frac{13}{14}$.